Особенности математики как науки

 

Основной предпосылкой использования математических методов в проблемах реальной жизни является эффективность человеческого разума. Человек именно благодаря разуму выделяется среди прочих живых существ и приобретает огромную силу. Ряд таких открытий, как изобретение колеса, бумаги, паровой машины, полностью изменили устройство мира. Наука стала важнейшей для человечества сферой деятельности. В известном смысле возник культ науки. Предполагается, что успешное решение любой проблемы должно опираться на научные основы.

Поскольку математика составляет ядро научных методов, являясь образцом логической строгости и доказательности, она неизбежно участвует в решении практических задач. Изобретение компьютерной техники усилило стремление широко использовать математические методы для решения новых проблем, в том числе организационных и управленческих.

Итак, важнейшей предпосылкой возникновения математики является естественное стремление принимать наиболее обоснованные и разумные решения, которые можно считать оптимальными. К сожалению, новейшая история показала, что следование принципам разумности и научности порой приводят к крайне негативным последствиям. Гениальные изобретения постоянно выходят из-под контроля человечества и наносят ему непоправимый вред. Достаточно сказать о том, что замечательные открытия в области физики, химии и биологии привели к созданию ядерного, химического и бактериологического оружия.

По этой причине перед изучением исследования операций следует сделать ряд оговорок, которые особенно важны для специалистов-гуманитариев, в частности психологов.

Необходимо отдавать себе отчёт в том, что математическая оптимальность может противоречить подлинным человеческим интересам. Например, предприятие может приносить большой доход, но одновременно отравлять окружающую среду. В романе Достоевского «Преступление и наказание» Раскольников теоретически обосновывает оптимальность (пользу для всех) убийства «вредной старушонки», но упускает из вида существование выходящей за пределы рассудочности нравственных основ человеческого бытия.

После этих замечаний перейдём к рассмотрению чисто математических вопросов. Начнём с того, что отметим изначальное наличие в математике идей, связанных с мысленной организацией предметов и образов реального мира. Рассмотрим с этой точки зрения широко известные результаты древнегреческих математиков Фалеса и Пифагора.

 

Фалес из города Милета является родоначальником европейской науки. Вот что сообщает о нем знаменитый римский писатель Апулей: «Фалес Милетский, несомненно самый выдающийся из тех знаменитых семи мудрецов (он ведь и геометрии у греков первый открыватель, и природы точнейший испытатель, и светил опытнейший наблюдатель), малыми линиями открыл величайшие вещи: круговороты времен года, ветров дуновения, звезд движения, громов дивные громыхания, планет извилистые пути, Солнца годичные повороты, а также объяснил нарождающейся Луны прибывание, стареющей – убывание, затмевающейся – преграды. Мало того, уже на склоне старческих лет он придумал божественный расчет, относящийся к Солнцу, вычислив сколько раз своей величиной Солнце меряет ту окружность, которую оно пробегает. Рассказывают, что Фалес поведал о недавно сделанном открытии Мандролиту из Приены. Тот пришел в неописуемый восторг от приобретенного им нового и неожиданного познания и велел просить у него в награду за столь ценный урок такую плату, какую Фалес пожелает. «Довольно мне будет платы, – сказал мудрый Фалес, – если, вздумав разгласить кому-либо то, чему ты научился от меня, ты не припишешь этого открытия себе, но назовешь первооткрывателем меня и никого другого».

 

Теорема Фалеса. Угол, опирающийся на диаметр окружности и вписанный в эту окружность, является прямым.

 

Обсуждение.

 

Доказательство теоремы, данное самим Фалесом, до нас не дошло. Более того, во времена Фалеса геометрия только зарождалась и не обладала развитой логической структурой, в частности ещё не существовала система аксиом. Таким образом, возникает вопрос о том, что представляло собой доказательство Фалеса. Можно предположить, что в значительной мере оно носило интуитивный характер и просто увязывало между собой разнородные факты (если можно так выразиться, доказательство должно было вносить организованность в стихийное созерцание геометрических образов).

Рассмотрим простейший механизм, состоящий из двух стержней АС и ВD равной длины, середины которых соединены шарниром О, закреплённым на плоскости. Доказательство теоремы основывается на двух очевидных обстоятельствах:

1. При вращении концы стержней вычерчивают на плоскости одну и ту же окружность с центром О.

2. Концы скреплённых стержней являются вершинами прямоугольника.

 

Доказательство теоремы Фалеса принимает следующий вид: задан угол АВС. Через вершину В и центр окружности О проведём диаметр BD. Точки А, В, С и D являются вершинами прямоугольника. Значит угол АВС – прямой.

Ещё более явно проявляется организующая сила математики при рассмотрении арифметических открытий Пифагора.

Пифагор несомненно является одной из самых легендарных личностей в истории человечества. Для одних он математик, для других – философ, для третьих – религиозный авторитет. До сих пор Пифагора оценивают в высшей степени эмоционально. То называют его святым, то – исчадьем ада. Оценивая личный вклад Пифагора в науку, историки также высказывают различные точки зрения. Поскольку в школе пифагорейцев все свои открытия ученики приписывали Пифагору, трудно определить, что же он сделал сам, тем более, что пифагорейская школа существовала несколько веков, и среди последователей Пифагора были яркие личности, такие как Архит, Филолай и Милон.

Величайший греческий атлет Милон Кротонский только на Олимпийских играх побеждал шесть раз, а ведь он участвовал и во множестве других соревнований, никогда не зная поражений. Он был непосредственным учеником Пифагора. Кстати, сам Пифагор был победителем олимпийских игр в кулачном бою. В доме Милона происходили собрания пифагорейцев. У пифагорейского союза были сильные и непримиримые враги, которые использовали любые средства для изгнания пифагорейцев из Кротона. В вооруженных столкновениях Милон проявлял свою выдающуюся силу и отвагу. Самому Пифагору все же пришлось покинуть Кротон и перебраться в Метапонт, где он и умер. Его ученики остались в городе и продолжали борьбу. В итоге их противникам удалось поджечь дом Милона, и почти все пифагорейцы (Милон в том числе) погибли.

Из приписываемых лично Пифагору открытий укажем на теорему, носящую его имя. Открыв эту теорему, Пифагор принес в жертву богам 100 быков. Кроме того, ему приписывают разработку теории пропорций и связанной с ней теории музыки, а также теории фигурных чисел (треугольных, квадратных и т. д.). Пифагор первым построил правильные многогранники.

Пифагор поражал воображение своих последователей не столько своими научными достижениями, сколько чудесами, о которых до нас дошло несколько легенд. Однажды в один день и час его одновременно видели и в Кротоне и в Метапонте. В другой раз в театре Пифагор встал и обнажил собственное бедро. Оно оказалось золотым. Когда Пифагор с несколькими спутниками переходил реку Каса, она сверхчеловеческим голосом приветствовала его: «Привет, Пифагор». Попутчиков при этом охватил ужас. Не удивительно, что Пифагора обожествляли при жизни. Как говорит Юстин, преклонение перед ним было столь велико, что из дома его сделали храм.

Достоверно известно, что Пифагор родился на острове Самос, много путешествовал, был в плену у вавилонян, учился у египетских жрецов. Многие другие сведения о нем в значительной степени легендарны. Так сторонники мистического истолкования личности Пифагора считают, что именно в Египте он был посвящен в тайные мистерии, обрел дар ясновидения и другие чудесные качества. Вернувшись в Грецию, он поселился в Кротоне и прожил там 30 лет. За это время Пифагор совершенствовал свои достоинства и превратился в полубога. Пифагорейский союз был тем тайным обществом, в котором он посвящал своих учеников в тайны Египта. В 60 лет Пифагор женился на своей ученице Теано, сочетавшей красоту с умом и высокими нравственными качествами. У Пифагора родились сыновья Аримнест и Телаугес (он впоследствии стал учителем еще одного философа, склонного к магии и чудесам и любящего поражать своих сограждан сверхъестественными эффектами - Эмпедокла), а также дочь Дамо. После смерти Пифагора Теано стала главой пифагорейцев, настолько она прониклась идеями своего мужа и учителя.

 

Задача. В мешочке лежат камешки. Мы можем их вынимать оттуда и раскладывать на земле. Можем ли мы, не считая камешки, узнать, чётное или нечётное их количество лежало в мешочке?

Ответ. Можем, раскладывая камешки в 2 ряда один под другим.

 

Задача. В мешочке лежат камешки. Мы можем их вынимать оттуда и раскладывать на земле. Можем ли мы, не считая камешки, узнать, является ли квадратом общее число камешков, лежавших в мешочке?

Ответ. Можем, раскладывая камешки в виде квадрата. При этом камешки следует подкладывать к уже выложенному квадрату углами (по-гречески – гномонами).

Задача. Докажите, что сумма первых n нечётных чисел равна n².

Задача. Найдите какие-нибудь три натуральных числа x, y и z, связанных соотношением x² + y² = z².

Указание. Приложив гномон к одному квадрату, мы получим другой. Если число камешков в гномоне также является квадратом, то мы как раз и получим соотношение x² + y² = z².

Задача. Найдите формулу для нахождения бесконечного количества решений неопределённого уравнения x² + y² = z².

Важно отметить наличие в математике с древнейших времён широкого класса задач, связанных с определением экстремальных значений различных величин. Обобщение разработанных при решении этих задач методов как раз и привело к созданию понятия оптимальности и связанных с ним теорий. Задачи на нахождение экстремальных значений вплотную подводят нас к проблематике исследования операций, но начали они возникать уже в древности.

Задача Дидоны. Легенда рассказывает, что дочь финикийского царя Дидона после злодейского убийства отца его собственным сыном бежала из города Тира в Африку. Высадившись на берег, она показала местным жителям кусок кожи и попросила подарить ей столько земли, сколько сможет покрыть этот кусок. Когда простодушные аборигены согласились, Дидона разрезала кожу на тонкие ремешки, связала из них веревку и огородила ею значительное пространство. На этом месте она основала могущественный город Карфаген. Троянский герой Эней после падения Трои, спасаясь от ахейцев, скитался по Средиземному морю и попал к Дидоне. Она полюбила его и уговаривала остаться в Карфагене. Однако Эней ее покинул, после чего Дидона покончила с жизнью. Эней же стал основателем римского государства. Легенда утверждает, что драматические отношения между Дидоной и Энеем стали причиной смертельной вражды между Карфагеном и Римом, завершившейся Пуническими войнами и гибелью основанного Дидоной города.

Вопрос о том, по границе какой геометрической фигуры следовало Дидоне положить веревку для получения максимального участка земли, математики формулируют так: найти среди плоских фигур с данным периметром (длиной границы) ту, которая имеет наибольшую площадь. (Поскольку периметр искомой фигуры постоянен, задачу называют также изопериметрической). Элементарными методами швейцарский геометр Якоб Штейнер доказал, что такой фигурой является окружность (см. Г. Радемахер, О. Теплиц «Числа и фигуры»).

 

Задача. На плоскости задана прямая l и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой. Найти на прямой такую точку С, чтобы длина ломаной АСВ была минимальной. Решите задачу аналитическим и геометрическим способами. Сравните методы решения между собой. Может ли данная задача иметь практическое значение?

Задача. В окружность вписать прямоугольник наибольшей площади. Решите задачу аналитическим и геометрическим способами. Сравните методы решения между собой. Может ли данная задача иметь практическое значение?

Задача. Среди прямоугольников, имеющих постоянный периметр Р, найти тот, который имеет максимальную площадь.

Задача. Среди прямоугольников, имеющих постоянную площадь Р, найти тот, который имеет минимальный периметр.

Задача. Среди треугольников, имеющих постоянный периметр Р, найти тот, который имеет максимальную площадь.

Указание. Сначала следует рассмотреть множество треугольников, имеющих постоянный периметр Р и основание постоянной длины с, и найти среди них обладающий наибольшей площадью.