Вопрос: Диференцирование!!!!
1)Производная функции 
равна …
Решение:
Воспользуемся правилами нахождения производных:
и 
.
Здесь U и V – некоторые функции, зависящие от x.
Получим:
2) Производная функции 
равна …
Решение:
Данная функция является сложной.
Пусть 
, где 
.
Тогда по формуле 
найдем
3) Дана функция 
Значение 
равно …
Решение:
Для нахождения 
постоянный множитель вынесем за знак производной и воспользуемся формулой 
Получим:
Положим 
, тогда 
4)Для функции 
точкой минимума будет …
Решение:
Заметим, что 
.
Значит, для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Видим, что производная существует на всей области определения функции и равна нулю в точках 
и 
.
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
Найдем знак производной на каждом, из получившихся промежутков.
В точке производная меняет знак с «–» на «+».
Значит, эта точка является точкой минимума.
5) Наибольшее значение функции 
на отрезке [-2,0] равно …
Решение:
Заметим, что функция 
непрерывна на отрезке [-2,0].
Найдем производную 
В данном задании критическими являются точки,
в которых производная равна нулю: 
,
то есть x = 2 и x = -1.
Заметим, что x = 2 не принадлежит указанному отрезку [-2,0], поэтому это значение не рассматриваем.
Вычислим значение функции в критических точках и на концах отрезка:
Наибольшее значение функции на указанном промежутке равно 7.
6)Для приближенного вычисления значения функции 
в точке 
можно использовать соотношение 
где 
приращение функции в точке 
Функция определяется из условия задачи. Значения 
выбираются так, чтобы было легко вычислить 
и при этом 
, взятое по модулю, должна быть как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения ln(1,03) равно …
Решение:
Рассмотрим функцию 
.
Можно взять 
Тогда 
По формуле 
получим 
вопрос: Интегральное исчисление!!!!!
1) Неопределенный интеграл 
равен …
Разделим каждое слагаемое числителя дроби на знаменатель, получим:
Применяя свойства неопределенного интеграла
,
и формулы 
, 
, 
, получим:
2) Определенный интеграл 
равен …
Решение:
Преобразуем знаменатель подынтегральной функции таким образом, чтобы можно было использовать формулу 
, 
. Следовательно, применяя формулу Ньютона-Лейбница, 
, получим:
3) Площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
и осью абсцисс, равна …
Решение:
На промежутке 
функция 
отрицательна, а на промежутке 
положительна, поэтому для вычисления площади рассматриваемой фигуры имеем:
Получили, что площадь фигуры равна 
(кв. ед.)
4)Скорость тела, движущегося прямолинейно, задается формулой 
(м/с). Тогда длина пути, пройденного телом от начала его движения до остановки, равна …
Решение:
Путь 
, пройденный за отрезок времени от 
до 
материальной точкой, движущейся прямолинейно со скоростью 
, вычисляется по формуле:
.
Найдем пределы интегрирования - время, затраченное на движение от начала до остановки тела, для этого необходимо решить уравнение 
. Корнями уравнения являются значения 
и 
. Значит, тело двигалось от начала его движения до остановки 4 с. Тогда длину пути можно вычислить:
(м).
5) Неопределенный интеграл 
равен …
Решение:
Сделаем подстановку 
. Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: 
, из которой выразим 
. Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл и выполним необходимые преобразования, следовательно,
Заменив 
его выражением из подстановки, получим:
6) Определенный интеграл 
равен …
Решение:
Используя свойства интеграла
и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений. Применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:
3 вопрос: Теория пределов!!!!!
1) Предел функции 
равен …
Решение:
Для вычисления предела воспользуемся свойством
,
если существуют конечные пределы 
и 
.
Следовательно, имеем:
.
2) Предел функции 
равен …
Решение:
Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, формулу 
.
Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на число , имеем:
Далее выполним замену переменной, полагая 
. Тогда если 
, то 
, 
, и, следовательно,
3) Четвертый член последовательности 
равен …
Решение:
Чтобы найти четвертый член данной последовательности, нужно вместо 
в данное равенство подставить число 
; получаем:
4) Предел функции 
равен …
Решение:
Так как
и 
,
то здесь имеет место неопределенность вида 
. Для ее раскрытия разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на 
(наивысшую степень 
в данной дроби). Тогда, зная, что 
, получим:
5)Предел функции 
равен …
Решение:
1) После подстановки предельного значения аргумента 
получаем неопределенность вида 
. Преобразуем функцию так, чтобы дробь можно было сократить на критический множитель. Для этого нужно освободиться от иррациональности в числителе, умножив числитель и знаменатель на выражение 
. Таким образом, имеем:
.
Видим, что в числителе можно применить формулу 
.
Тогда:
В числителе получившейся дроби можно вынести общий множитель за скобки
.
Подставим предельное значение аргумента в оставшееся выражение, получим:
6) Предел функции 
равен …
Решение:
Чтобы вычислить предел функции, нужно воспользоваться первым замечательным пределом 
и соотношением 
.
Для этого необходимо выполнить замену переменной: 
, откуда 
.
Учитывая, что 
при 
, получаем:
