вопрос: Интегральное исчисление!!!

Вопрос: Диференцирование!!!!

1)Производная функции равна …
Решение:

Воспользуемся правилами нахождения производных:
и .
Здесь U и V – некоторые функции, зависящие от x.
Получим:

 

 

2) Производная функции равна …
Решение:

Данная функция является сложной.
Пусть , где .
Тогда по формуле найдем

 

3) Дана функция
Значение равно …
Решение:

Для нахождения постоянный множитель вынесем за знак производной и воспользуемся формулой
Получим:

Положим , тогда

 

 

4)Для функции точкой минимума будет …
Решение:

Заметим, что .
Значит, для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Видим, что производная существует на всей области определения функции и равна нулю в точках и .
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
Найдем знак производной на каждом, из получившихся промежутков.

В точке производная меняет знак с «–» на «+».
Значит, эта точка является точкой минимума.

5) Наибольшее значение функции
на отрезке [-2,0] равно …
Решение:

Заметим, что функция непрерывна на отрезке [-2,0].
Найдем производную
В данном задании критическими являются точки,
в которых производная равна нулю: ,
то есть x = 2 и x = -1.
Заметим, что x = 2 не принадлежит указанному отрезку [-2,0], поэтому это значение не рассматриваем.
Вычислим значение функции в критических точках и на концах отрезка:

Наибольшее значение функции на указанном промежутке равно 7.

 

6)Для приближенного вычисления значения функции в точке можно использовать соотношение где приращение функции в точке Функция определяется из условия задачи. Значения выбираются так, чтобы было легко вычислить и при этом , взятое по модулю, должна быть как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения ln(1,03) равно …

 

Решение:

Рассмотрим функцию .
Можно взять
Тогда
По формуле получим

вопрос: Интегральное исчисление!!!!!

 

1) Неопределенный интеграл равен …
Разделим каждое слагаемое числителя дроби на знаменатель, получим:

Применяя свойства неопределенного интеграла
,

и формулы , , , получим:

 

2) Определенный интеграл равен …
Решение:

Преобразуем знаменатель подынтегральной функции таким образом, чтобы можно было использовать формулу , . Следовательно, применяя формулу Ньютона-Лейбница, , получим:

 

3) Площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью абсцисс, равна …

Решение:

На промежутке функция отрицательна, а на промежутке положительна, поэтому для вычисления площади рассматриваемой фигуры имеем:

Получили, что площадь фигуры равна (кв. ед.)

 

4)Скорость тела, движущегося прямолинейно, задается формулой (м/с). Тогда длина пути, пройденного телом от начала его движения до остановки, равна …
Решение:

Путь , пройденный за отрезок времени от до материальной точкой, движущейся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле:
.
Найдем пределы интегрирования - время, затраченное на движение от начала до остановки тела, для этого необходимо решить уравнение . Корнями уравнения являются значения и . Значит, тело двигалось от начала его движения до остановки 4 с. Тогда длину пути можно вычислить:
(м).

 

5) Неопределенный интеграл равен …
Решение:

Сделаем подстановку . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: , из которой выразим . Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл и выполним необходимые преобразования, следовательно,

Заменив его выражением из подстановки, получим:

 

6) Определенный интеграл равен …

Решение:

Используя свойства интеграла
и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений. Применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:

 

3 вопрос: Теория пределов!!!!!

 

1) Предел функции равен …

Решение:

Для вычисления предела воспользуемся свойством
,
если существуют конечные пределы и .
Следовательно, имеем:
.

 

2) Предел функции равен …
Решение:

Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, формулу .
Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на число , имеем:

Далее выполним замену переменной, полагая . Тогда если , то , , и, следовательно,

 

3) Четвертый член последовательности равен …
Решение:

Чтобы найти четвертый член данной последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить число ; получаем:

 

4) Предел функции равен …

Решение:

Так как
и ,
то здесь имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на (наивысшую степень в данной дроби). Тогда, зная, что , получим:

 

5)Предел функции равен …
Решение:

1) После подстановки предельного значения аргумента получаем неопределенность вида . Преобразуем функцию так, чтобы дробь можно было сократить на критический множитель. Для этого нужно освободиться от иррациональности в числителе, умножив числитель и знаменатель на выражение . Таким образом, имеем:
.
Видим, что в числителе можно применить формулу .
Тогда:

В числителе получившейся дроби можно вынести общий множитель за скобки
.
Подставим предельное значение аргумента в оставшееся выражение, получим:

6) Предел функции равен …
Решение:

Чтобы вычислить предел функции, нужно воспользоваться первым замечательным пределом
и соотношением .
Для этого необходимо выполнить замену переменной: , откуда .
Учитывая, что при , получаем: