Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, jи k:

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а=ахi +ayj +azkи b =bxi +byj +bzk. Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

ó

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается.

25. Смешанное произведение трёх векторов.

Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb)•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения (ахb)*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b, с и вектор d =ахb(см. рис. 22).

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • прdс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, прdс = Н Для правой тройки векторов и прdс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb)*c =S *(±H), т. е. (axb)*c =±V, где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, bи с.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (ахb)•с=(bхс)•а=(сха)•b.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. (ахb)•с=а*(bxс).

Действительно, (ахb)•с=±V и а•(b хс)=(bхс)•а=±V. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, b, с и b, с, а — одной ориентации.

Следовательно, (aхb)•с=a (bхс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb, abc =-bac, abc =-cba.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

Если abc =0, то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V, то получили бы, что abc¹0. Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b, с — компланарны. Тогда вектор d =ахbбудет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b,с, и следовательно, d^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.