Скалярное произведение векторов, его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними. Обозначается ab,а* b(или(а, b)).Итак, по определению,
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как |a| cosg=пр ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр ab, то получаем:
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения:
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0¹b, то а^ b
Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример: Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:
АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что AC^BD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
Векторное произведение векторов, его свойства.
Определение векторного произведения:
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k(см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j.
Докажем, например, что iхj=k.
1) k^i, k^j;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. ахb=(bхa) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, ахb и a, b, bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(ахb) = (lа)хb = а х(lb).
Пусть l>0. Векторl(ахb) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb) и (lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому l(aхb)=lахb. Аналогично доказывается при l<0.
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b<=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+bхс.
