Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке.

Вариант 16

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

Для определения области необходимо решить следующую систему:

2x-y > -1

2x-y < 1

x+y≠0

 

y < 2x+1

y > 2x-1

x≠y

Таким образом в данном случае область определения – это область в 1-ой четверти.

2. Показать, что заданная функция удовлетворяет данному уравнению.

Решение. Предварительно найдем частные производные первого порядка

dz/dx=(6tg^2(2x-3y))/(cos^2(2x-3y))

dz/dy=(-9tg^2(2x-3y))/ (cos^2(2x-3y))

Подставляя, полученные производные к функцию в заданное соотношением получим

3*((6tg^2(2x-3y))/(cos^2(2x-3y)))+2*((-9tg^2(2x-3y))/cos^2(2x-3y))=(18tg^2(2x-3y))/(cos^2(2x-3y))-(18tg^2(2x-3y)))/(cos^2(2x-3y))=0

3. Найти производную сложной функции. ;

Решение. Применяяформулу для вычисление полной производной получим

dz/dt=(dz/dx)*(dx/dt)+(dz/dy)*(dy/dt)=(x*e^x+e^x-e^x*y)*t-e^x

Подставляя теперь вместо и выражение через и выполняя необходимые преобразования получим

dz/dt=t*(sin t*e^{sin t}+ e^{sin t}- e^{sin t}*cos t)- e^{sin t}

4. Найти экстремум функции.

Решение. Найдем и приравняем частные производные первого порядка к нулю

Так как частные производные второго порядка являются постоянными то .

Тогда в силу достаточного условия экстркмума в точке функция имеет локальный минимум, который равен .

 

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.

Решение. Отметим,что границами данной области являются стороны прямоугольника, которые аналитически задаются следующим образом

Y C

B x

1 3

 

AB: y=0 -1 < x < 3

BC: y=x+1 0 < y < 4

CA: x=3 0 < y < 4

Найдем и приравняем частные производные первого порядка к нулю

Z(y)=2x-2y=0

Z(x)=2x+2y-4=0

Y=1

x=1

 

Обозначим эту точку как O(1;1) Значение функции в найденной точке будет равно z(1;1)=-2

Подставляя теперь в функцию формулу границы найдем минимальные и максимальные значения на этих границах

Y=0 (x^2-4x)’=2x-4 x=2 (2;0)

X=3 (9+6y-y^2-12)’=6-2y y=3 (3;3)

Y=x+1 (x^2+2x(x+1)-(x+1)-4x)’=(x^2+2x^2+2x-x^2-x-1-4x)’=(2x^2-3x-1)’=4x-3 x=3/4 y=7/4

Z(2;0)=4+0+0-8=-4

Z(3;3)=9+18-9-12=6

Z(3/4;7/4)=9/16+2*21/16-49/16-4*3/4=25/8

Наименьшее значение в точке (2;0), наибольшее значение (3;3)

 

6. Найти точки условного экстремума функции

Составим вспомогательную функцию Лагранжа:

L(X, λ) = x*y + λ*(x^2+y^2-2)

Найдем частные производные первого порядка по переменным и приравняем их к нулю

∂L/∂x = 2*λ+y = 0

∂L/∂x2 = x+2*λ = 0

∂L/∂λ = x^2+y^2-2 = 0

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

0 1 2 0

1 0 2 0

1 1 0 2

 

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0 1 2 0

0 -1 2 -2

1 1 0 2

 

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0 0 4 -2

0 -1 2 -2

1 1 0 2

 

Из 1-ой строки выражаем x3

λ = -2/4 = -0.5

Из 2-ой строки выражаем x2

y = -1/-1 = 1

Из 3-ой строки выражаем x1

x = 1/1 = 1

Точка экстремума (1;3). Значение функции в точке экстремума F(1;1)=1.

 

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке.

Решение. Уравнениекасательной плоскости, к поверхности заданным уравнением в точке записывается в виде:

, а уравнение нормали к поверхности в этой же точке ;

Наша поверхность задана уравнением: F(x,y,z)=z^2+2xy-y^2+4z-1=0

. Найдем частные производные

(dF/dx)_M0=(2y)_(1,1,-4)=2

(dF/dy)_M0=(2x-2y)_(1,1,-4)=0.

(dF/dz)_M0=(2z+4)_(1,1,-4)=-4.

8. Hайти производную функции в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

а) Найдем частные производные первого порядка

; .

Найдем значения частной производной в точке

Тогда градиент функции найдем по формуле

.

б) Найдем направляющие косинусы:

Производную по направлению вектора найдем следующим образом:

.