Второе достаточное условие экстремума
Пусть функция 
имеет в данной стационарной точке 
конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке локальный максимум, если 
, и локальный минимум, если 
.
Экстремумы функций двух переменных
Рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума. Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными 
Определение. Точка 
называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции 
, если 
есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки 
При этом значение 
называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция 
имеет в точке 
экстремум (или достигает в точке 
экстремума).
Рис. 1.6
Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.6.
|
достигает в точке 
экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.
Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция 
имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
, 
.
Для отыскания стационарных точек функции 
нужно приравнять нулю обе ее частные производные
, 
.
и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.
кратко:
15-Определение выпуклости графика функции на интервале. Условие выпуклости графика на интервале
Кратко:График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. 
полный: Если график функции y=f(x) имеет касательную в точке x = x0, и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x0; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.
График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале [a,b], если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
Пусть функция f (x) дважды дифференцируема на интервале (a, b), тогда:
если f''(x)>0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a,b);
если f''(x)<0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a,b).
16-необходимое и достаточное условие точки перегиба
Точка (x0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.
Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку f''(x) меняет знак, то x0 — точка перегиба графика функции y=f(x).
Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 — точка перегиба графика функции y=f(x), то f'(x)=0 или не существует.
17-вывод уравнения для невертикальной асимптоты
18-задача на наименьшее и наибольшее значение функции(В14 на ЕГЭ)
Для его решения будем следовать такому алгоритму:
а) Найдем область определения функции
б) Найдем производную функции.
в) Приравняем ее к нулю.
г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.
д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.
е) Найдем значение функции в этой точке.
