Функция распределения вероятностей

 

Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е.

F(x) = P (X <x).

Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Функции распределения есть неубывающая функция.

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(а < X < b) = F(b) – F(а). (2.1)

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то

F(x) = 0 при х ≤ а; F(x) = 1 при х ≥ b.

5. Справедливы следующие предельные отношения:

.

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х1, х2, …,хn, функция распределения имеет вид

 

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений хi, величина которых меньше х.

Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется неравенство xi<x≤xi+1. Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому неравенство Х<x выполняется, если величина Х примет значения хк, где k = 1, 2, …, i. Таким образом, событие Х<x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х1, Х=х2, Х=х3, …, Х=хi. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем

.

Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины Х ее функция распределения F(x) имеет непрерывную производную

F'(x)= φ(x).

Функцию φ(x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальной функцией.

Так как плотность вероятности φ(x) является производной неубывающей функции F(x), то она неотрицательна: φ(x)≥0. В отличие от функции распределения, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения.

Так как F(x) является первообразной для φ(x), то на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем. Отсюда в силу (3.1) получаем

P(a ≤ X ≤ b) = . (2.3)

Полагая а=–∞ и b=+∞, получаем достоверное событие Х принадлежащее (–∞, +∞), вероятность которого равна единице. Следовательно,

.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то . Полагая в формуле а = –∞, b = х и обозначая для ясности переменную интегрирования t, получим функцию распределения

F(x) = P(– ∞ < X < x) = .

21. Характеристики вариационного ряда. Среднее выборочное.

 

Выборочным средним называется величина

 

Выборочная дисперсия а корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратическим отклонением

 

Выборочные начальные и центральные моменты порядка определяются соответственно формулами:

 

 

 

Модой называется вариант, наиболее часто встречающийся в данном вариационном ряду.

 

Медианой называется вариант такой, что и Медиана обладает тем свойством, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от выборочной средней).

 

Важность эмпирических характеристик заключается в том, что они близки (при достаточно большом n) к соответствующим теоретическим значениям. Поскольку выборочные характеристики являются случайными величинами, а теоретические - числа, то близость понимается в смысле сходимости по вероятностям.

 

22. Статистическое распределение выборки.

 

Статистическим распределением выборки. Статистическое распределение записывается в виде таблицы: 1 строка – варианты; 2 строка – частоты.

 

n – объем выборки(частота).Иногда вместо частот используют относительную частоту:Wi = ni / n; ΣWi = 1 Разность между наибольшим и наименьшим элементами выборки называется размахом выборки, т.е. R = xmax-xmin

 

При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы. В процессе группированного ряда подсчитываются также накопленные частоты. ñi* - частота i-интервала равна сумме частот: ñ3* = ñ1+*ñ2*+ñ3*

 

Ŵi*- накопленная относительная частота.

 

Полигоном частот называется ломаная линия, вершинами которой служат точки с координатами (хi;ni), i=1…k.Для группировки выборки строят гистограмму частот, т.е. ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников,площадь прямоугольника равна частоте ñi*.Площадь гистограммы равна объему выборки.

 

Высота прямоугольников равна ñ*i / n.

23. Закон распределения вероятностей.

Билет № 21

24. Билет 21.

25. Билет 21.

 

26. Алгоритмизация и языки програмирования.

 

Алгоритм и его свойства

 

Решение задач на компьютере основано на понятии алгоритма. Алгоритм – это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, ведущий от варьируемых начальных данных к исходному результату.

 

Алгоритм означает точное описание некоторого процесса, инструкцию по его выполнению. Разработка алгоритма является сложным и трудоемким процессом. Алгоритмизация – это техника разработки (составления) алгоритма для решения задач на ЭВМ.

 

Изобразительные средства для описания (представление) алгоритма

Для записи алгоритма решения задачи применяются следующие изобразительные способы их представления:

Словесно- формульное описание

Блок-схема (схема графических символов)

Алгоритмические языки

Операторные схемы

Псевдокод

 

 

Для записи алгоритма существует общая методика:

Каждый алгоритм должен иметь имя, которое раскрывает его смысл.

Необходимо обозначить начало и конец алгоритма.

Описать входные и выходные данные.

Указать команды, которые позволяют выполнять определенные действия над выделенными данными

 

 

Общий вид алгоритма

Алгоритм: Название алгоритма

Описание данных

Начало

Команды

Конец

 

Формульно-словесный способ записи алгоритма характеризуется тем, что описание осуществляется с помощью слов и формул. Содержание последовательности этапов выполнения алгоритмов записывается на естественном профессиональном языке предметной области в произвольной форме.

 

Графический способ описания алгоритма (блок - схема) получил самое широкое распространение. Для графического описания алгоритмов используются схемы алгоритмов или блочные символы (блоки), которые соединяются между собой линиями связи.

 

Каждый этап вычислительного процесса представляется геометрическими фигурами (блоками). Они делятся на арифметические или вычислительные (прямоугольник), логические (ромб) и блоки ввода-вывода данных (параллелограмм).

Порядок выполнения этапов указывается стрелками, соединяющими блоки. Геометрические фигуры размещаются сверху вниз и слева на право. Нумерация блоков производится в порядке их размещения в схеме.

 

 

 

Алгоритмические языки - это специальное средство, предназначенное для записи алгоритмов в аналитическом виде. Алгоритмические языки близки к математическим выражениям и к естественным языкам. Каждый алгоритмический язык имеет свой словарь. Алгоритм, записанный на алгоритмическом языке, выполняется по строгим правилам этого конкретного языка.

 

 

Операторные схемы алгоритмов. Суть этого способа описания алгоритма заключается в том, что каждый оператор обозначается буквой (например, А – арифметический оператор, Р – логический оператор и т.д.).

 

Операторы записываются слева направо в последовательности их выполнения, причем, каждый оператор имеет индекс, указывающий порядковый номер оператора. Алгоритм записывается в одну строку в виде последовательности операторов.

 

 

Псевдокод – система команд абстрактной машины. Этот способ записи алгоритма с помощью операторов близких к алгоритмическим языкам.

 

Принципы разработки алгоритмов и программ

Типы алгоритмических процессов

По структуре выполнения алгоритмы и программы делятся на три вида:

Линейные

Ветвящиеся

Циклические

 

Линейный алгоритм (линейная структура) – это такой алгоритм, в котором все действия выполняются последовательно друг за другом и только один раз. Схема представляет собой последовательность блоков, которые располагаются сверху вниз в порядке их выполнения. Первичные и промежуточные данные не оказывают влияния на направление процесса вычисления.

 

Алгоритмы разветвляющейся структуры

На практике часто встречаются задачи, в которых в зависимости от первоначальных условий или промежуточных результатов необходимо выполнить вычисления по одним или другим формулам.

 

Такие задачи можно описать с помощью алгоритмов разветвляющейся структуры. В таких алгоритмах выбор направления продолжения вычисления осуществляется по итогам проверки заданного условия. Ветвящиеся процессы описываются оператором IF (условие).

 

 

Циклические вычислительные процессы

Для решения многих задач характерно многократное повторение отдельных участков вычислений. Для решения таких задач применяются алгоритмы циклической структуры (циклические алгоритмы). Цикл – последовательность команд, которая повторяется до тех пор, пока не будет выполнено заданное условие. Циклическое описание многократно повторяемых процессов значительно снижает трудоемкость написания программ.

 

Существуют две схемы циклических вычислительных процессов.

 

Особенностью первой схемы является то, что проверка условия выхода из цикла проводится до выполнения тела цикла. В том случае, если условие выхода из цикла выполняется, то тело цикла не выполняется ни разу.

 

Особенностью второй схемы является то, что цикл выполняется хоты бы один раз, так как первая проверка условия выхода из цикла осуществляется после того, как тело цикла выполнено.

 

Существуют циклы с известным числом повторений и итерационные циклы. При итерационном цикле выход из тела цикла, как правило, происходит при достижении заданной точности вычисления.

 

Языки программирования

Языки программирования – это искусственные языки записи алгоритмов для исполнения их на ЭВМ. Программирование (кодирование) - составление программы по заданному алгоритму.

 

Классификация языков программирования. В общем, языки программирования делятся на две группы: операторные и функциональные. К функциональным относятся ЛИСП, ПРОЛОГ и т.д.

 

Операторные языки делятся на процедурные и непроцедурные (Smalltalk, QBE). Процедурные делятся на машино - ориентированные и машино – независимые.

 

К машино – ориентированным языкам относятся: машинные языки, автокоды, языки символического кодирования, ассемблеры.

 

К машино – независимым языкам относятся:

Процедурно – ориентированные (Паскаль, Фортран и др.)

Проблемно – ориентированные (ЛИСП и др.)

Объектно-ориентированные (Си++, Visual Basic, Java и др.)

27. Языки программирования высокого уровня.

 

Высокоуровневый язык программирования — язык программирования, разработанный для быстроты и удобства использования программистом. Основная черта высокоуровневых языков — это абстракция, то есть введение смысловых конструкций, кратко описывающих такие структуры данных и операции над ними, описания которых на машинном коде (или другом низкоуровневом языке программирования) очень длинны и сложны для понимания.

 

Так, высокоуровневые языки стремятся не только облегчить решение сложных программных задач, но и упростить портирование программного обеспечения. Использование разнообразных трансляторов и интерпретаторов обеспечивает связь программ, написанных при помощи языков высокого уровня, с различными операционными системами и оборудованием, в то время как их исходный код остаётся, в идеале, неизменным.

 

Такого рода оторванность высокоуровневых языков от аппаратной реализации компьютера помимо множества плюсов имеет и минусы. В частности, она не позволяет создавать простые и точные инструкции к используемому оборудованию. Программы, написанные на языках высокого уровня, проще для понимания программистом, но менее эффективны, чем их аналоги, создаваемые при помощи низкоуровневых языков. Одним из следствий этого стало добавление поддержки того или иного языка низкого уровня (язык ассемблера) в ряд современных профессиональных высокоуровневых языков программирования.

 

Примеры: C, C++, Java, Python, PHP, Ruby, Perl, PureBasic, Delphi, Lisp. Языкам высокого уровня свойственно умение работать с комплексными структурами данных. В большинстве из них интегрирована поддержка строковых типов, объектов, операций файлового ввода-вывода и т. п.

 

Первым языком программирования высокого уровня считается компьютерный язык Plankalkül, разработанный немецким инженером Конрадом Цузе ещё в период 1942—1946 гг. Однако транслятора для него не существовало до 2000 г. Первым в мире транслятором языка высокого уровня является ПП (Программирующая Программа), он же ПП-1, успешно испытанный в 1954 г. Транслятор ПП-2 (1955 г., 4-й в мире транслятор) уже был оптимизирующим и содержал собственный загрузчик и отладчик, библиотеку стандартных процедур, а транслятор ПП для ЭВМ Стрела-4 уже содержал и компоновщик (linker) из модулей. Однако, широкое применение высокоуровневых языков началось с возникновением Фортрана и созданием компилятора для этого языка (1957).

 

Новой тенденцией является появление языков программирования еще более высокого уровня (ультра-высокоуровневых). Такого рода языки характеризуются наличием дополнительных структур и объектов, ориентированных на прикладное использование. Прикладные объекты, в свою очередь, требуют минимальной настройки в виде параметров и моментально готовы к использованию. Использование ультра-высокоуровневых языков программирования снижает временные затраты на разработку программного обеспечения и повышает качество конечного продукта за счет, опять таки, уменьшения объема исходных кодов.

 

Пример:

XAML

 

28. Словесные алгоритмы.

29. Блок схемы. Ветвление.

30. Блок схемы. Циклы.

Смотреть билет № 26.