Свойства универсального множества

Отношения между множествами

Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.

A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:

A включает B, если B включено в A:

A равно B, если A и B включены друг в друга:

A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:

A строго включает B, если B строго включено в A:

A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов:

Аи В не пересекаются

A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

А и В находятся в общем положении

 

2. Основные операции над множествами. Соотношения между множествами.

Бинарные операции.

Ниже перечислены основные операции над множествами:

пересечение:

объединение:

Если множества A и B не пересекаются:, то их объединение обозначают также:.

разность (дополнение):

симметрическая разность:

Декартово или прямое произведение:

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Унарные операции

Абсолютное дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит A):

Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):

Мощность множества:

| A |

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

Множество всех подмножеств (булеан):

Обозначение происходит из того, что в случае конечных множеств.

 

Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Сравнение множеств

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если и , то A называется собственным подмножеством B. Заметим, что . По определению .

 

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

 

3. Диаграммы Эйлера-Венна. Универсальное множество.

 

Круги́ Э́йлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

 

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.

 

Свойства универсального множества

Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

Любое множество является подмножеством универсального множества.

В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

Дополнение универсального множества есть пустое множество.

Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

4. Перестановки. Бинарные отношения.

В комбинаторике перестано́вка — это упорядоченный набор чисел обычно трактуемый как биекция на множестве, которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки.

 

Число всех перестановок порядка n равно числу размещений из n по n, т.е. факториалу:

 

В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.