Найти производные данных функций.

1) у=х⁵+ -cos x

Решение:

y’=(х⁵+ -cos x)’=5x⁴+ ’+sin x=5x⁴ +sin x=5x⁴ +sin x

Ответ: y’ =5x⁴ +sin x.

2) у=(х³-5) е^х

Решение:

у’=((х³-5) е^х)’=(х³-5)’ е^х +(х³-5)(е^х)’=3x²е^х+(х³-5) е^х =(х³+3x²-5) е^х

Ответ: y’ =(х³+3x²-5) е^х.

 

3)

Решение:

Ответ:

 

4) y=ln(sin5x+x²)

Решение:

y’=

Ответ: y’=

5)

Решение:

Ответ:

6) y=

Решение:

y’=

 

Ответ: y’=

7) у=(sinx)^cosx

Решение:

Применим логарифмическое дифференцирование:

Логарифмируя по основанию е находим: lny=ln(sinx)^cosx

Применим основное свойство логарифма: lny=cosx·lnsinx

Дифференцируем обе части равенства: (lny)’=(cosx·lnsinx)’

 

Ответ:

 

8) y³+x²cosy=2

Решение:

Дифференцируем обе части равенства: (y³+x²cosy)’=(2)’

3y²y’+(x²)’cosy+x²(cosy)’=0

3y²y’+2xcosy-x²siny·y’=0

2xcosy=x²siny·y’-3y²y’

y’(x²siny-3y²)=2xcosy

 

Ответ:

Задача № 3_.

Найти первую и вторую производные данных функций:

1) y=x²e^sinx

Решение:

y=x²e^sinx

Ищем первую производную:

y’=(x²e^sinx)’

y’=(x²)’e^sinx+x²(e^sinx)’

y’=2xe^sinx+x²cosx·e^sinx

Ищем вторую производную:

y’’=(2xe^sinx+x²cosx·e^sinx)’

y’’=(2x)’e^sinx +2x(e^sinx)’+(x²)’cosx·e^sinx+ x²(cosx·e^sinx)’

y’’=2e^sinx +2xcosx·e^sinx+2xcosx·e^sinx+ x²((cosx)’e^sinx +cosx(e^sinx)’)

y’’=2e^sinx +4xcosx·e^sinx+x²(-sinx·e^sinx +cos²x·e^sinx)

y’’=2e^sinx +4xcosx·e^sinx-x²sinx·e^sinx + x²cos²x·e^sinx

Ответ: y’=2xe^sinx+x²cosx·e^sinx; y’’=2e^sinx +4xcosx·e^sinx-x²sinx·e^sinx + x²cos²x·e^sinx

 

 

2) x=2cost; y=3sint

Решение:

 

Ответ:

 

 

Задача № 4_.

 

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить график:

 

Решение:

1) Область определения D(у)=(-∞; 1)U(1; ∞), то есть функция непрерывна на своей области определения, х=1 - точка разрыва, исследуем поведение функции вокруг этой точки.

следовательно, х=1 - вертикальная асимптота.

 

2) Так как область определения D(у) не симметричное относительно нуля множество, то функция не является ни чётной, ни нечётной, а её график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат (0; 0).

 

3) у(х)∩ОХ в точке (0; 0),

так как при у=0 Þ

 

4) у(х)∩ОY в точке (0; 0),

так как при x=0 Þ

 

5) Вычислим у¢(х)

 

функция возрастает на [-2; 0]; функция убывает на (-∞; -2]; [0; 1); (1; +∞)

x=0 - точка max у=0 – max;

х=-2 – точка min y=^-4/₂₇ – min.

 

6) Вычислим у²(х)

функция выпукла на (-∞; -2-√3]; [-2+√3; +∞); функция вогнута на [-2-√3; -2+√3]; (1; +∞);

х=-2±√3 – точки перегиба;

 

7) y=kx+b – уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты, где

итак, у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты.

Строим график:

 

Задание 5.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

f(x)=x³-3x²-9x+2, [-2; 4]

Решение:

Область определения D(у)=R, точек разрыва нет и, следовательно, функция имеет наибольшее и наименьшее значения, которые она принимает либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на концах отрезка.

Находим критические точки функции: f’(x)=(x³-3x²-9x+2)’=3x²-6x-9

f’(x)=0 => 3x²-6x-9=0 => x²-2x-3=0 => две критические точки,

принадлежащие отрезку [-2; 4].

Находим значения функции в критических точках (так как обе они принадлежат исследуемому отрезку) и на концах отрезка и из них выбираем наибольшее и наименьшее:

f(-2)= (-2)³-3(-2)²-9(-2)+2=0;

f(-1)= (-1)³-3(-1)²-9(-1)+2=7 – наибольшее значение;

f(3)=3³-3·3²-9·3+2=-43 – наименьшее значение;

f(4)=4³-3·4²-9·4+2=-18;

Итак,

Ответ: