Расширение понятия о числе

Задание 1. Вместо многоточия поставьте нужные слова: «Обыкновенной дробью называется …, … в виде , где р – числитель дроби, п – ее знаменатель»

1. пара чисел (р; п), записанных;

2. два натуральных числа р и п, записанных;

3. упорядоченная пара натуральных чисел, записанная;

4. любые два числа, записанные.

Задание 2. Как от меры перейти к отрезкам?

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 3. Какой закон сложения положительных рациональных чисел позволяет опускать равные слагаемые в неравенствах?

1. коммутативный; 2. ассоциативный; 3. сократимость; 4. монотонность.

Задание 4. Какое арифметическое действие разрешимо на множестве Q₊, а на множестве N выполнимо не всегда?

1. вычитание; 2. деление; 3. сложение; 4. умножение.

Задание 5. Вместо многоточия поставьте нужный знак:

1. >; 2. =; 3. <; 4.

Задание 6. Как называется обыкновенная дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 с натуральным показателем?

1. десятичной; 2. неправильной; 3. правильной; 4. сократимой.

Задание 7. Как называют замену обыкновенных дробей равносильными им дробями с одинаковыми знаменателями?

1. сокращением дробей;

2. умножением дробей;

3. приведением к общему знаменателю;

4. у этой операции нет названия.

Задание 8. Дано высказывание: . Как называется этот закон?

1. коммуникативный закон сложения;

2. ассоциативный закон сложения;

3. рефлексивность сложения;

4. коммутативный закон сложения.

Задание 9. Чему равна следующая разность ?

1. ; 2. ; 3. ; 4.

Задание 10. Найдите значение частного: .

1. 64; 2. ; 3. 8; 4. .

Задание 11. Как записать определение равных положительных рациональных чисел математическими символами?

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 12. Какая операция неразрешима на множестве положительных рациональных чисел?

1. деление; 2. сложение; 3. вычитание; 4. умножение.

Задание 13. Как называются числа, которые можно записать бесконечной десятичной дробью?

1. натуральными; 2. положительными рациональными;

3. положительными иррациональными; 4. положительными действительными.

Задание 14. Закончите правило: «Чтобы произведение разделить на число, достаточно один из множителей разделить на это число и полученное частное …»

1. разделить на другой множитель;

2. умножить на второй множитель;

3. умножить на другой множитель;

4. разделить на первый множитель.

Задание 15. Закончите правило вычитания числа из суммы:

1. , если ; 2. , если ;

3. ; 4. .

Задание 16. На чем основано приведение дробей к общему знаменателю?

1. определение обыкновенной дроби;

2. основное свойство дроби;

3. критерий равносильности дробей

4. на правиле сложения обыкновенных дробей.

Задание 17. Какое множество является расширением множества положительных рациональных чисел?

1. множество натуральных чисел;

2. множество целых чисел;

3. множество положительных иррациональных чисел;

4. множество положительных действительных чисел.

Задание 18. Какие из следующих записей не являются обыкновенными дробями: (считая слева направо)?

1. вторая, третья и четвертая;

2. четвертая;

3. первая;

4. вторая и третья.

Задание 19. Какая из следующих десятичных дробей равносильна дроби ?

1. 1,4(16); 2. 1,041(6); 3. 1,41(6); 4. 1,401(16)

Задание 20. Определите вид десятичной дроби, которая равносильна дроби

1. конечная; 2. чисто периодическая; 3. смешанно периодическая; 4. правильная.

Задание 21. Представьте число в виде несократимой обыкновенной дроби: 7,2(3).

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Задание 22. Значение выражения является:

1. обыкновенной дробью;

2. неотрицательным целым числом;

3. положительным иррациональным числом;

4. отрицательным целым числом.

Задание 23. Сколько цифр содержит предпериод десятичной дроби, равносильной обыкновенной дроби ?

1. 3;

2. 2;

3. 1;

4. это чисто периодическая дробь, у нее нет предпериода.

Задание 24. Выберите из следующих дробей наименьшую: ; 2,0(6); 2,0(06); 2,(006); 2,00(6).

1. ; 2. 2,0(6); 3. 2,(006); 4. 2,0(06).

Задание 25. Какие из данных чисел равны?

1. 7,34 и ; 2. и 2,(571428); 3. 3,272727… и 3,2772772…; 4. 0,857143… и .

Задание 26. Длину прямоугольника уменьшили на 40%, а ширину увеличили на 40%. Установите, как при этом изменилась площадь этого прямоугольника?

1. увеличилась на 84%; 2. уменьшилась на 16%; 3. не изменилась; 4. увеличилась на 16 %

Программа зачета

3 курс (VI семестр)

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Проверяется знание студентом основных определений, формулировок теорем, свойств отношений раздела «Расширение понятия о числе» в соответствии со следующим списком тем:

1. Задачи и принципы расширения числовых множеств.

2. Требования к построению множества положительных рациональных чисел.

3. Вывод понятия обыкновенной дроби. Равенство дробей.

4. Теорема о том, что длину одного и того же отрезка можно выразить различными обыкновенными дробями. Основное свойство дроби. Применение основного свойства в математике.

5. Отношение равносильности обыкновенных дробей, его свойства и вид.

6. Доказательство критерия равносильности обыкновенных дробей.

7. Понятие положительного рационального числа.

8. Выполнимость отношения: N Q₊.

9. Теорема о том, что любые два положительных рациональных числа можно представить обыкновенными дробями с одинаковыми знаменателями.

10. Правило сложения обыкновенных дробей. Алгоритм сложения ПРЧ.

11. Существование и единственность суммы положительных рациональных чисел.

12. Законы сложения во множестве Q₊. Доказательство коммутативности и ассоциативности.

13. Правило вычитания обыкновенных дробей. Алгоритм вычитания ПРЧ.

14. Существование и единственность разности положительных рациональных чисел.

15. Законы вычитания во множестве Q₊. Доказательство правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.

16. Правило умножения обыкновенных дробей. Алгоритм умножения ПРЧ.

17. Существование и единственность произведения положительных рациональных чисел.

18. Законы умножения во множестве Q₊. Доказательство ассоциативности и дистрибутивности умножения относительно сложения или вычитания.

19. Правило деления обыкновенных дробей. Алгоритм деления ПРЧ.

20. Существование и единственность частного положительных рациональных чисел.

21. Законы деления во множестве Q₊. Доказательство дистрибутивности деления относительно сложения, а также правил деления числа на произведение и произведения на число.

22. Отношение «больше (меньше)» во множестве Q_+,его свойства и вид.

23. Свойства множества Q₊. Доказательство упорядоченности, отсутствия наибольшего (наименьшего) положительного рационального числа, плотности.

24. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков. Понятие положительного иррационального числа.

25. Понятие положительного действительного числа. Множество R₊.

26. Приближения по недостатку и по избытку положительного действительного числа. Действия над положительными действительными числами.

27. Отношение порядка во множестве положительных действительных чисел. Свойства множества R₊. Геометрическая интерпретация множества R₊.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ (примерные задания для решения на зачете)

1). Докажите, что:

- разность квадратов двух последовательных четных натуральных чисел делится на 4;

- если натуральные числа a и b при делении на 7 дают один и тот же остаток, то разность квадратов этих чисел делится на 7;

- разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное;

- произведение двух последовательных четных натуральных чисел кратно 8;

- если одно из натуральных чисел при делении на 5 дает остаток 3, а другое – остаток 1, то сумма их квадратов делится на 5.

2). Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истинно следующее утверждение:

а) ; б) ; в) ; г) .

3). Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 1035 и 851; б) 1295 и 2035; в) 1242 и 1248; г) 2035 и 925.

4). Является ли число 221 (191, 199, 203, 227) простым?

5). Не находя значения выражения, установите, верно ли что:

а) (28242 + 52020 + 54) 18; б) (321 ^.102 ^.35) 45; в) (46 ³– 46 ²) 45;

г) (123 ^.702 ^. 25) 45; д) (27 ⁹+ 27 ¹⁰) 28?

6). Представив числа в каноническом виде, найдите их НОД и НОК:

а) 600 и 630; б) 600 и 1050; в) 1050 и 2205;

г) 2600 и 1820; д) 2205 и 1350.

7). Сократите дроби: ; ; ; . Выберите, какие из этих дробей удобнее сократить по алгоритму Евклида, какие – по каноническому виду числа.

8). Найдите дробь, равносильную дроби и имеющую знаменатель 111111.

9). Докажите, что при любом натуральном значении а следующие дроби несократимы:

а) ; б) .

10). Сумму чисел и уменьшите на . Найдите три способа выполнения этого задания. Каким законом вычитания пользовались?

11). Какое из чисел ближе к единице: или ?

12). Решите уравнение, используя зависимости между компонентами и результатами действий:

а) б) .

13). Какие цифры можно поставить вместо *, чтобы получилась правильная несократимая дробь: а) ; б) ?

14). Решите задачу алгебраическим методом: «Числитель данной дроби на 4 больше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 4, а знаменатель умножить на 2, то получится дробь меньше первой на 1. Найдите первоначальную дробь».

15). Найдите рациональный способ вычисления значения выражения:

16). Найдите и обоснуйте наиболее рациональный способ нахождения значения выражения:

1) 8,3 + 3,85 +9,7 + 5,15 + 2,25 + 0,125; 2) .

17). Запишите в виде обыкновенной дроби: 0,(301); ; ; 5,7(27); 6,31(8); 15,43(29).

18). Докажите, что 0,27(9) = 0,28(0).

19). Сравните выражения:

а) и ; б) и ; в) и

20). Определите вид десятичной дроби, соответствующей данной обыкновенной:

а) ; б) ; в) .

21). Расположите дроби в порядке возрастания, используя прием поразрядного сравнения: ; 0,3(88); 0,(38); 0,(388); 0,388.

22). Решите задачи, не применяя уравнений:

- Группа туристов наметила пройти путь от турбазы до озера за четыре дня. В первый день она наметила пройти всего пути, во второй день - оставшегося, а в третий и четвертый проходить по 12 км. Какова длина всего пути?

- В колхозном саду сливовые деревья составляют 1/6 всего количества плодовых деревьев, яблони 8/15, а остальные 360 деревьев грушевые. Сколько плодовых деревьев в колхозном саду?

- Из двух пунктов, расстояние между которыми 340 км, вышли одновременно навстречу друг другу два электропоезда. Скорость одного из них была на 5 км/ч больше скорости другого. С какой скоростью шли поезда, если известно, что через 2 часа после начала движения им оставалось пройти до встречи 30 км?

- Расстояние между совхозом и городом, равное 170 км, мотоциклист приехал за 5 часов. Первые два часа он ехал со скоростью, на 10 км/ч большей, чем на остальной части пути. Какой была скорость мотоциклиста на первой и на второй частях пути?

17. Выполните действия: ((0,(06) + 1/3): 0,25): (0,12(3): 0,0925) + 12,5 ^.0,64.

18. Повторите упражнения, которые были решены во время шестого семестра.

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА