Пусть поверхность задана параметрически {x=x(u,v),y=y(u,v), z=z(u,v),
(u,v)∈D, или в векторной форме
(xyz)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.
Тогда площадь поверхности равна
S=∬D|[r′u(u,v),r′v(u,v)]|dudv.
Пусть поверхность задана явно уравнением z=f(x,y), (x,y)∈D. Всякую такую поверхность можно задать параметрически (взяв в качестве параметров x,y) или в векторной форме уравнением r=r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k. Тогда
r′x(x,y)=i+f′x(x,y)k, r′y(x,y)=j+f′y(x,y)k,
[r′x(x,y),r′y(x,y)]=|ijk10f′x(x,y)01f′y(x,y)|=−f′x(x,y)i−f′y(x,y)j+k.
Поэтому |[r′x(x,y),r′y(x,y)]|=1+(f′x(x,y))2+(f′y(x,y))2, и площадь поверхности может быть найдена по формуле
S=∬D1+(f′x(x,y))2+(f′y(x,y))2dxdy.
17.Физические приложения двойного интеграла.
Масса и статические моменты пластины
Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости O xy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна 
. Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде
Статический момент пластины относительно оси O x определяется формулой
Аналогично находится статический момент пластины относительно оси O y:
Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости O xy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами
Для однородной пластины с плотностью 
для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.
Моменты инерции пластины
Момент инерции пластины относительно оси O x выражается формулой
Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси O y:
Полярный момент инерции пластины равен
Заряд пластины
Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости O xy и его плотность распределения задана функцией 
. Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением
Среднее значение функции
Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y)является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости O xy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой
где 
− площадь области интегрирования R.
18.Криволинейный интеграл по длине дуги (криволинейный интеграл 1-го рода).
Пусть функция f (x, у) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К, имеющей уравнение 
.
Разобьем дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками A = A 0, A 1, A 2,…, An = B; пусть 
- длина дуги Ak -1 Ak. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку Mk (xk, yk) и умножим значение функции f (xk, yk) в этой точке на длину соответствующей дуги.
О п р е д е л е н и е. Интегральной суммой для функции f (x, у) по длине дуги АВ называется сумма вида
.
О п р е д е л е н и е. Криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f (x, у) (или криволинейным интегралом 1- го рода) называется конечный предел интегральной суммы (122) при стремлении 
к нулю.
Это обозначатся так: 
.
Здесь dS – дифференциал дуги.
