Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть
где, по определению, F (x) – первообразная для f (x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
то в соответствии с формулой (16) можно записать
В этом выражении
первообразная функция для
В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна
Пусть α и β – значения переменной t, при которых функция
принимает соответственно значения a и b, т.е. 
Тогда
Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b) – F (a) есть
поскольку F (x) – первообразная для f (x).
Итак,
(50)
Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл
после замены переменной
преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами 
и 
. Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение
поставить значения x = a и x = b, т.е. решить уравнения
и
относительно 
и 
. После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.
При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.
8. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа о свойствах определённого интеграла, получим
Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде
получаем формулу интегрирования по частям: 
9.Вычисление площади плоской фигуры.
Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [ a; b ].
Если при этом f (х) ≥ 0 на [ a; b ], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
выразится с помощью интеграла: 
(1)
Если же f (х) ≤ 0 на [ a; b ], то − f (х) ≥ 0 на [ a; b ].
Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле 
или
(2)
Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [ a; b ] надо разбить на части, в пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2), которая ей соответствует.
10.Вычисление длины дуги плоской кривой.
Пусть известна функция 
и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где 
.
Для определения длины дуги 
необходимо вычислить определенный интеграл:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где 
. В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:
Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах 
где 
. Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:
11. Вычисление объема тела.
Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая (рис. 1), что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b] см. рис. 1) поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b] задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b] то справедлива формула
Полное доказательство этой формулы дается в курсах математического анализа, а здесь остановимся на наглядных соображениях, приводящих к ней.
Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков равной длины точками x0 = a <x1 <x2 <... <xn-1 <b=хn, и пусть
Через каждую точку хk проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои (рис. 2, а, б). Объем слоя, заключенного между плоскостями αk-1 и αk, при достаточно больших n приближенно равен площади S(xk-1) сечения, умноженной на «толщину слоя» Δx, и поэтому
Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше n. Поэтому Vn →V при n → ∞. По определению интеграла
при n → ∞.
