II. Примеры решения некоторых задач

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

Методические указания к выполнению

самостоятельной работы для студентов II курса

очной формы обучения специальностей

080502 «Экономика и управление»,

080111 «Маркетинг», 080507 «Менеджмент»

 

(III семестр)

 

 

Брянск 2008

УДК 511

 

Математика: методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов II курса очной формы обучения специальностей 080502 «Экономика и управление», 080111 «Маркетинг», 080507 «Менеджмент» (III семестр). - Брянск: БГТУ, 2008. - 32с.

 

 

Разработали: Л.А. Гусакова, доц.

В.А. Андросенко, асс.

 

 

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол № 3 от 22. 11. 07)

 

оглавление

 

1. Предисловие……………………………………………………….4

2. Варианты расчетно-графического задания №3………………….5

3. Примеры решения некоторых задач…………………………….23

4. Задачи для подготовки к контрольным работам……………….27

5. Вопросы к экзамену……………………………………………....30

6. Список рекомендуемой литературы…………………………….31

 

 

предисловие

 

Настоящие методические указания ориентированы на студентов специальностей «Экономика и управление на предприятии», «Менеджмент», «Маркетинг». Они должны помочь студентам более рационально организовать самостоятельную работу в третьем семестре.

Методические указания содержат четыре раздела. В первом разделе приводится содержание расчетно-графического задания №3. Во втором разделе дается подробный разбор задач, при решении которых у студентов возникают наибольшие трудности. Третий раздел позволит студентам эффективно подготовиться к контрольным работам, предусмотренным рабочей программой курса «Высшая математика». Четвертый раздел содержит вопросы для подготовки к экзамену.

 

 

i содержание расчетно-графического задания №2

задание 1

 

1. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания 0,7 и 0,8 соответственно. Случайная величина X – число попаданий первого стрелка, случайная величина Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Будут ли X и Y зависимыми случайными величинами?

 

2. В коробке 3 синих и 2 красных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. Случайная величина X – число красных шаров у первого, случайная величина Y – число красных шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Будут ли X и Y независимыми случайными величинами?

 

3. В 2–х коробках находятся шары. В 1–ой коробке 3 синих и 2 красных, во 2–й коробке 2 синих и 3 красных. Из каждой коробки случайным образом взяли по одному шару. Случайные величины: X – число красных шаров среди взятых, Y – число синих шаров среди взятых. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

4. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания 0,7 и 0,6 соответственно. Случайные величины: X – число попаданий первого стрелка, Y – число промахов второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Будут ли X и Y независимыми случайными величинами?

 

5. В коробке 6 белых и 4 чёрных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

6. Один стрелок производит 2 выстрела, второй – один. Вероятность попадания для первого и второго стрелков при одном выстреле 0,5 и 0,6 соответственно. X – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

7. В двух коробках находятся шары. В первой – 4 белых и 1 красный, во второй – 3 белых и 2 красных. Два человека взяли по одному шару (один берёт из первой коробки, другой из второй коробки). X – число красных шаров у первого, Y – число красных шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

8. Первый стрелок производит один выстрел, второй – два. Вероятность попадания при одном выстреле для каждого из стрелков равны 0,6 и 0,5 соответственно. X – число промахов первого стрелка, Y – число промахов второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

9. В двух коробках находятся шары. В первой – 2 белых, 2 красных, 1 синий; во второй – 1 белый, 3 красных, 1 синий. Один человек из каждой коробки случайным образом взял по одному шару. X – число белых шаров среди взятых, Y – число красных шаров среди взятых. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

10. В коробке 3 белых, 2 красных и 5 чёрных шаров. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число красных шаров у первого, Y – число белых шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

11. Два стрелка производят по два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле для каждого из стрелков равна 0,5 и 0,6 соответственно. X – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

12. В коробке 1 синий, 1 белый и 3 красных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число синих шаров у первого, Y – число синих шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

13. В двух коробках находятся шары. В первой – 3 синих и 7 белых, во второй – 4 синих и 6 белых. Два человека берут по одному шару (один из первой коробки, другой из второй). X – число синих шаров у первого, Y – число синих шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

14. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания для каждого равны 0,5 и 0,6 соответственно. X – число промахов первого стрелка, Y – число промахов второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

15. В коробке 7 белых и 3 красных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число красных шаров у первого, Y – число красных шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

16. Первый стрелок производит один выстрел, второй – два. Вероятность попадания при одном выстреле для каждого из стрелков 0,6 и 0,5 соответственно. X – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

17. В двух коробках находятся шары. В первой – 4 синих и 1 белый, во второй – 3 синих и 2 белых. Два человека из каждой коробки берут по одному шару (один из первой, другой из второй). X – число синих у первого, Y – число синих у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

18. В двух коробках находятся шары. В первой – 1 синий, 3 красных и 1 белый, во второй – 2 синих, 2 красных и 1 белый. Из каждой коробки случайным образом взяли по одному шару. X – число красных шаров среди взятых, Y – число белых шаров среди взятых. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

19. В коробке 3 красных и 2 белых шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число красных у первого, Y – число красных шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

20. В коробке 6 белых и 4 чёрных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число чёрных шаров у первого, Y – число белых шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

21. В коробке 3 красных, 3 синих, 4 белых шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число красных шаров у первого, Y – число красных у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

22. Первый стрелок производит два выстрела, второй – один. Вероятности попадания при одном выстреле для каждого соответственно равны 0,8 и 0,9. X – число промахов первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

 

23. В двух коробках находятся шары. В первой – 4 белых и 6 чёрных, во второй – 5 белых и 5 чёрных. Один человек из первой коробки берёт один шар, другой – из второй коробки один шар. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

24. Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

 

Х Y
	0,25	0,25
	0,25	0,25

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

 

25. Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

 

Х Y
	1/6	1/6	1/6
	1/6	1/6	1/6

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

 

26. Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

 

Х Y
-1	0,25	0,25
	0,25	0,25

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

 

27. Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

 

Х Y	-1
	1/6	1/6	1/6
	1/6	1/6	1/6

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

 

28. Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

 

Х Y
	0,25	0,25
	0,25	0,25

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

 

29. Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

 

Х Y
-1	1/6	1/6
	1/6	1/6
	1/6	1/6

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=2X. Зависимы ли S и R?

 

30. Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

 

Х Y
-1	1/6	1/6	1/6
-2	1/6	1/6	1/6

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=-Y. Зависимы ли S и R?

 

задание 2

 

Найти r_xy. Написать уравнения линейных средних квадратических регрессий Y на X и X на Y, построить их графики. Построить точки (x_i, m_y (x_i)).

Специальность: МРК

X Y	2n – 10	2n – 8	2n – 6	2n – 4	2n – 2	2n
16 + n				0, 01	0, 02	0, 02
26 + n				0, 02	0, 06	0, 04
36 + n			0, 01	0,04	0, 10	0, 04
46 + n		0,01	0, 03	0,08	0, 08
56 + n	0,01	0, 02	0, 08	0,06	0, 01
66 + n	0, 01	0,04	0, 06	0, 03
76 + n	0, 04	0, 03	0,02
86 + n	0, 01	0,02

 

Специальность: МНТ, ЭУП

X Y	n	1,2n	1,4n	1,6n	1,8n	2n
5n	0, 01	0, 01
5n + 2	0, 02	0, 03	0, 04
5n + 4	0, 04	0, 06	0, 06	0,02	0, 01
5n + 6		0,02	0, 08	0,06	0, 04
5n+ 8			0, 02	0,08	0, 12	0, 01
5n + 10				0, 03	0, 10	0, 06
5n + 12				0, 01	0, 01	0, 04
5n + 14						0, 02

 

задание 3

 

Решить исходную задачу графическим методом. Записать двойственную задачу и решить ее симплекс-методом. Используя условия дополняющей нежесткости, по решению двойственной задачи найти решение исходной задачи.

 

1. z=2x₁+5x₂ ® max 2. z=3x₁+4x₂ ® max

 

3. z=x₁+x₂ ® min 4. z=-x₁+5x₂ ® min

 

5. z=x₁+3x₂ ® max 6. z=x₁ -5x₂ ® min

7. z=-x₁+2x₂ ® min 8. z=-2x₁+5x₂ ® max

9. z=2x₁ -3x₂ ® max 10. z=4x₁+3x₂ ® min

11. z=5x₁+x₂ ® min 12. z=2x₁+5x₂ ® max

 

13. z=7x₁+4x₂ ® min 14. z=2x₁+3x₂ ® min

 

15. z=x₁+4x₂ ® max 16. z=3x_{1 +}x₂ ® min

 

17. z=3x₁+2x₂ ® min 18. z=-2x₁+3x₂ ® min

 

19. z=x₁ +6x₂ ® max 20. z=x₁+7x₂ ® max

 

21. z=x₁+4x₂ ® max 22. z=2x₁+7x₂ ® min

 

23. z=3x₁+x₂ ® min 24. z=2x₁+3x₂ ® max

 

25. z=4x₁+x₂ ® max 26. z=4x₁ +x₂ ® max

 

27. z=2x₁+3x₂ ® max 28. z=-3x₁+x₂ ® min

 

29. z=2x₁ +7x₂ ® min 30. z=x₁+4x₂ ® max

задание 4

Решить исходную задачу симплекс-методом. Проверить правильность решения, решив графически двойственную задачу.

 

1. z=10x₁+6x₂+3x₃+4x₄ ® min 2. z=11x₁+6x₂+2x₃+3x₄ ® min

 

3. z=-x₁+x₂+3x₃+6x₄ ® min 4. z=6x₁+3x₂-x₃+x₄ ® min

 

5. z=3x₁+6x₂+2x₃+x₄ ® max 6. z=8x₁+19x₂+7x₃+x₄ ® max

 

7. z=8x₁+19x₂+7x₃+x₄ ® max 8. z=18x₁+30x₂-6x₃-4x₄ ® max

 

9. z=-4x₁+24x₂+12x₃+12x₄ ® min 10. z=x₁+3x₂+6x₃ -4x₄ ® min

 

11. z=23x₁+20x₂+6x₃+4x₄ ® min 12. z=-6x₁+10x₂-9x₃+4x₄ ® min

 

13. z=6x₁+10x₂+6x₃+10x₄ ® min 14. z=6x₁-x₂-5x₃+6x₄ ® max

 

15. z=7x₁+4x₂-3x₃+2x₄ ® max 16. z=2x₁-3x₂-4x₃+7x₄ ® min

 

17. z=6x₁+x₂-5x₃+6x₄ ® max 18. z=6x₁-5x₂-x₃+6x₄ ® max

 

19. z=2x₁-3x₂+4x₃+7x₄ ® max 20. z=5x₁+3x₂+5x₃+3x₄ ® min

 

21. z=4x₁-9x₂+10x₃-6x₄ ® min 22. z=4x₁+6x₂ +20x₃+23x₄ ® min

 

23. z=3x₁+3x₂+6x₃-x₄ ® min 24. z=6x₁+3x₂ +x₃-x₄ ® min

25. z=4x₁+3x₂+6x₃+10x₄ ® min 26. z=x₁-x₂+3x₃+6x₄ ® min

 

27. z=10x₁-7x₂-19x₃ -8x₄ ® min 28. z=3x₁+2x₂+6x₃+11x₄ ® min

 

29. z=-2x₁-3x₂+15x₃+9x₄ ® max 30. z=x₁+7x₂+19x₃+8x₄ ® max

задание 5

Решить транспортную задачу.

 

Вариант № 1

 

Вариант № 2

 

Вариант № 3

 

Вариант № 4

 

Вариант № 5

 

 

Вариант № 6

 

Вариант № 7

 

Вариант № 8

 

Вариант № 9

 

Вариант № 10

Вариант № 11

 

Вариант № 12

Вариант № 13

 

Вариант № 14

Вариант № 15

Вариант № 16

 

Вариант № 17

 

Вариант № 18

Вариант № 19

 

Вариант № 20

Вариант № 21

 

Вариант № 22

 

Вариант № 23

 

Вариант № 24

Вариант № 25

 

Вариант № 26

Вариант № 27

Вариант № 28

 

Вариант № 29

Вариант № 30

 

II. Примеры решения некоторых задач

1. В ящике находится 10 красных и 5 синих шаров. Два человека по очереди случайным образом вынимают по одному шару (без возвращения). Х – число синих шаров у первого, Y – число синих шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (Х,Y). Выяснить, являются ли случайные величины Х и Y независимыми.

Решение. Случайная величина Х и случайная величина Y могут принимать всего два значения: 0 и 1. Х=0, если шар, вытащенный первым человеком, окажется красным; Х=1, если у первого окажется синий шар. Аналогично, Y=0, если у второго окажется красный шар, и Y=1, если у второго окажется синий шар.

Обозначим события:

А – шар, вытащенный первым человеком, окажется красным;

В – шар, вытащенный вторым человеком, окажется красным.

(Х=0, Y=0)=АВ;

Р(Х=0, Y=0)=Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)= ;

(Х=1,Y=0)= В;

Р(Х=1, Y=0)=Р()Р(В/ )= ;

(Х=0,Y=1)=А ;

Р(Х=0,Y=1)=Р(А )=Р(А)Р( /А)= ;

(Х=1,Y=1)= ;

Р(Х=1,Y=1)=Р( )=Р()Р( / )= .

Таблица распределения случайной величины (Х,Y) имеет вид:

 

Х Y

 

Заметим, что .

Рассмотрим отношение вероятностей:

Так как , то случайные величины Х и Y являются зависимыми.

2. Задана задача линейного программирования

z=-x₁-2x₂ ® min

Решить задачу графически. Записать двойственную задачу и решить ее симплекс-методом. Используя условия дополняющей нежесткости, по решению двойственной задачи найти решение исходной задачи.

Решение. Решаем графически заданную систему неравенств (рис.1).

Строим градиент функции z =(-1;-2)^Т и линию уровня, отвечающую значению z = 0 (рис.1). Так как в направлении, противоположном градиенту, целевая функция убывает быстрее всего, то точка В является точкой минимума. Определим координаты точки В.

.

^Т – оптимальный план задачи.

z_min=-1-4= -5.

Пусть у₁, у₂, у₃ – двойственные переменные. Чтобы записать двойственную задачу, перепишем исходную задачу в виде:

z=-x₁-2x₂ ® min

Двойственная задача будет иметь вид:

Запишем двойственную задачу в каноническом виде.

Матрица системы ограничений имеет вид:

.

Векторы условий образуют стандартный базис в пространстве R₂, но b ₁= -1<0 и b ₂= -2<0. Таким образом, система ограничений не является приведенной к опорному плану. Используя элементарные преобразования, выделим среди векторов условий стандартный базис таким образом, чтобы выполнялось условие: b ₁>0, b ₂>0.

Заполняем симплекс-таблицу (табл.1).

Таблица 1.

Базис	С j	-2
		-3/2			-1/2	-1/2	3/2
		-1/2			1/2	-1/2	1/2
j

 

Все _j , следовательно, вектор является оптимальным планом. Находим значение целевой функции двойственной задачи на оптимальном плане

В двойственной задаче у₂>0, у₃>0 и на оптимальном плане активными являются 1-е и 2-е ограничение. Следовательно, в исходной задаче х₁>0, х₂>0. Активными на оптимальном плане являются 2-е и 3-е ограничения.

^Т – оптимальный план исходной задачи.