Iii. Задачи для подготовки к контрольным работам

 

В третьем семестре студенты выполняют две контрольные работы. Первая контрольная работа содержит задачи из раздела «Теория вероятностей». Для подготовки к ней рекомендуется решить следующие задачи.

Y X
	0,2	0,15	0,1
	0,3	0,2	0,05

1. Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задано таблицей:

 

 

Найти закон распределения случайной величины . Найти r_xy. Выяснить, являются ли X и Y зависимыми случайными величинами.

Z	-2	-1	1	2	4
P	0,1	0,15	0,25	0,2	0,3

Ответ: r_xy = -0,165; X и Y – зависимы.

 

2. Совместное распределение дискретных случайных величин X₁, X₂, X₃ задано следующими таблицами:

X1 X2	-1			X2 X3				X1 X3	-1
	0,4	0,2		0,2	0,2		0,2	0,2
	0,2	0,2		0,4	0,2		0,4	0,2

Составить корреляционную таблицу К. Найти M[Z] и D[Z], если Z = X₁ + 2X₂ – X₃.

Ответ: , M[Z] = 1,6; D[Z] = 1,84.

 

3. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Область D определяется неравенствами Найти 1) коэффициент a; 2) математические ожидания m_x и m_y; 3) средние квадратические отклонения σ_x, σ_y; 4) коэффициент корреляции r_xy.

Ответ: .

4. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Область D – треугольник, ограниченный прямыми: Найти 1) коэффициент a; 2) математические ожидания m_x и m_y; 3) дисперсии ; 4) коэффициент корреляции r_xy.

Ответ:

5. Монета подбрасывается 100 раз. Найти вероятность того, что число выпавших гербов заключено в пределах от 40 до 60.

Ответ: 0,9544.

6. На отрезке [0; 1/4] случайным образом выбраны 162 числа, каждое из которых имеет равномерное распределение на этом отрезке. Найти вероятность того, что их сумма будет находиться в пределах от 22 до 26.

Ответ: 0,029.

7. Случайные величины X и Y распределены по одному и тому же:

а) показательному закону с параметром λ = 0,1;

б) равномерному закону в интервале (0,1).

Найти M[Z], где Z = X + Y.

Ответ: а) M[Z] = 20,

б) M[Z] = 1.

Вторая контрольная работа содержит задачи из раздела «Линейное программирование». Для подготовки к ней рекомендуется решить следующие задачи.

1. Решить задачу Л.П. графически. Записать двойственную задачу и найти ее решение, используя вторую теорему двойственности. Решить двойственную задачу симплекс-методом.

z=-x₁+3x₂ ® max

Ответ:

2. Решить задачу симплекс-методом.

Ответ:

3. Записать двойственную задачу и решить ее графически. Используя результат, полученный для двойственной задачи, сделать вывод относительно существования решения исходной задачи.

Ответ: задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений.

IV. Вопросы к экзамену

I. Теория вероятностей

1. Центральная предельная теорема и ее следствие.

2. Закон больших чисел.

3. Многомерные случайные величины. Способы задания закона распределения двумерных дискретных и непрерывных случайных величин.

4. Определение закона распределения составляющих величин.

5. Независимость случайных величин.

6. Числовые характеристики двумерных случайных величин. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью.

7. Функции от случайных величин. Определение закона распределения функции по закону распределения аргумента.

8. Статистическая зависимость между случайными величинами. Условные распределения.

9. Функция регрессии. Минимизирующее свойство функции регрессии. Средняя квадратическая регрессия в заданном классе функций.

10. Свойства числовых характеристик.

11. Начальные и центральные моменты случайной величины.