Вращение вокруг проецирующих осей

1. Вращение точки.

При вращении вокруг горизонтально-проецирующей оси i точка А описывает окружность, лежащую в горизонтальной плоскости (рис. 68). Фронтальная проекция этой окружности сливается в горизонтальную прямую (перпендикулярную соответственной проекции оси), а горизонтальная – представляет собой окружность с центром в точке i₁ и радиусом, равным расстоянию от точки А₁ до оси (центра вращения О₁).

Рис. 68

При вращении вокруг фронтально-проецирующей оси i точка В описывает окружность, лежащую во фронтальной плоскости (рис. 69). На П₁ эта окружность проецируется в натуральную величину, а на П₂ в прямую, перпендикулярную проекции оси вращения.

Рис. 69

2. Вращение прямой выполняется для определения натуральной величины отрезков прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

При вращении вокруг горизонтально-проецирующей оси, проходящей через один из концов АВ, например А, отрезок АВ описывает коническую поверхность с вершиной А и окружность радиуса ОВ в основании (рис. 70). Ось конической поверхности перпендикулярна плоскости П₁. Для определения натуральной величины отрезка его следует поворачивать вокруг оси i до положения, когда он станет параллелен плоскости П₂. На эпюре это положение определяется поворотом горизонтальной проекции А₁В₁ до горизонтального уровня А₁В₁’. При этом фронтальная проекция В₂ точки В переместится по прямой перпендикулярной проекции оси i₂ в положение В₂’, а точка A (А₁, А₂) не изменит своего положения, как лежащая на оси вращения. Проекции А₁В₁’ и А₂В₂’, определяют в пространстве отрезок AB’, параллельный плоскости П₂. Значит - н.в. АВ. Угол АВО = AB’О = А₂В₂B₂’ ≡ α. Угол β исказился в процессе преобразования, так как прямая стала параллельна плоскости П₂.

Рис. 70

Аналогично, при вращении вокруг фронтально-проецирующей оси, проходящей через конец С отрезка, отрезок CD описывает коническую поверхность с осью, перпендикулярной П₂ (рис. 71). Для определения натуральной величины отрезка, его следует поворачивать вокруг оси i до положения, когда он станет параллельной плоскости П₁. Проследите это преобразование на эпюре, используя наглядное изображение рис. 71. Горизонтальное положение проекции C₂D₂’ определяет горизонтальный уровень отрезка CD послеповорота ∟CDO = ∟CD’O = ∟C₁D₁’D₁ ≡ ∟β.

Итак, из а) и б) следует, что один поворот отрезка вокруг проецирующей оси образует прямую и один из углов его наклона к плоскостям проекций. Если вращение вокруг горизонтально-проецирующей оси, то определяется угол наклона отрезка к П₁, а если вокруг фронтально-проецирующей оси, то угол наклона к П₂.

Рис. 71

3. Вращение проецирующей плоскости применяется для определения натуральных величин лежащих в ней плоских фигур.

Вращение производится вокруг прямой, лежащей в заданной плоскости. Пусть требуется определить натуральную величину ΔАВС, лежащего во фронтально-проецирующей плоскости ω (рис. 72). Проведем ось вращения i, также фронтально-проецирующую, например, через точку С плоскости. На фронтальную плоскость проекций ось i проецируется в точку i₂ ≡ С₂, а на горизонтальную плоскость – в вертикальную прямую i₁С₁. Поворот плоскости ω ΔАВС надо произвести до положения горизонтального уровня, т.е. фронтальную проекцию ω₂ надо повернуть вокруг i₂ до горизонтального положения ω₂′=А₂′В₂′С₂. При этом А₂ и В₂ точек А и В перемещаются по окружностям с центром в точке i₂.

Рис. 72

Чтобы построить горизонтальную проекцию треугольника, вспомним, что горизонтальные проекции точек при вращении вокруг фронтально-проецирующей оси перемещаются по прямым, перпендикулярным проекции оси i. Воспользовавшись линиями проекционной связи через уже определенные фронтальные проекции А₂′ и В₂′, определяем горизонтальные проекции А₂ и В₂ точек А и В после поворота. Горизонтальная проекция A₁’B₁’C₁ определяет натуральную величину ΔАВС, т.к. его плоскость расположилась горизонтально.

Аналогично определяются натуральные величины фигур, лежащих в горизонтально-проецирующих плоскостях, вращением их вокруг горизонтально-проецирующих осей.

На рис. 73 приведен пример определения натуральной величины ΔKNM, лежащего в горизонтально-проецирующей плоскости φ. Студенту предлагается самому разобраться в построениях.

Рис. 73