Решение.
В матричной форме исходная система запишется как 
, где 
. Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем 
, следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица 
. Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как 
. Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.
Мы знаем, что для матрицы 
обратная матрица может быть найдена как 
, где 
- алгебраические дополнения элементов 
.
В нашем случае
Тогда
Выполним проверку полученного решения 
, подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ: или в другой записи 
.
69.
Скалярний добуток двох векторів
Def. Скалярним добутком двох векторів і називають число (або), що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
.
Якщо хоча б один із векторів чи нульовий, то за означенням
.
Оскільки виконуються рівності
,,
то
.
Геометричний зміст скалярного добутку.
| Рис. 14.Геометричний змістскалярного добутку | Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора (рис. 14). Тоді . (5.1) |
Формула (5.1) – робоча формула для обчислення проекції вектора на вектор (або вісь).
Властивості скалярного добутку
Алгебраїчні властивості скалярного добутку:
1);
2);
3).
Геометричні властивості скалярного добутку:
1) якщо та, то, якщо кут гострий, і, якщо кут тупий;
2) скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні;
3) скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини, тобто,
звідки 
. (5.2)
Умова перпендикулярності двох векторів.
Ненульові вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
. (5.3)
Зокрема: 
, 
, 
.
Вираз скалярного добутку через координати векторів та обчислення кута між векторами
Нехай вектори і задані своїми координатами
, 
.
Тоді
(5.4)
Справді,
оскільки , , та 
.
Висновки з формули (5.4) такі:
1) умова перпендикулярності векторів і:
;
2) довжина вектора: 
;
3) косинус кута між векторами і:
Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов 
и 
: 
где 
- угол между векторами 
и ; если 
либо 
, то 
Из определения скалярного произведения следует, что 
где, например, 
есть величина проекции вектора на направление вектора .
Скалярный квадрат вектора: 
Свойства скалярного произведения: 
Скалярное произведение в координатах
Если 
то 
Угол между векторами
Векторное произведение
Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый 
или 
для когорого:
1) 
( - угол между векторами и , 
);
2) 
3) тройка , , - правая.
Свойства векторного произведения: 
если 
, то 
равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .
72.
Загальне рівняння прямої
Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах:
де A, B і C - Довільні постійні, причому постійні A і B не рівні нулю одночасно. Вектор з координатами (A, B) називається нормальним вектором і він перпендикулярний прямій. Вектор з координатами (-B, A) або (B,-A) називається направляючим вектором.
При C = 0 пряма проходить через початок координат. Також рівняння можна переписати у вигляді:
Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.
Если в общем уравнении прямой
(1)
один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:
1). С=0; уравнение имеет вид 
и определяет прямую, проходящую через начало координат.
2). В=0 (А 
0); уравнение имеет вид 
и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х=а, где 
является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.
3). В=0, С=0 (А 0); уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.
4). А=0 (В 0); уравнение имеет вид 
и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y=b, где 
является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
5). А=0, С=0 (В 0); уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.
Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду
, (2)
где , суть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.
Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».
Если две прямые даны уравнениями
и 
,
то могут представиться три случая:
а). 
- прямые имеют одну общую точку;
б). 
- прямые параллельны;
в). 
- прямые сливаются, то есть оба уравнения определяют одну и ту же прямую.
