Вопрос 56.
Метод интегрирования замена переменной с примерами.
Докажем, что если 
, то 
.
Доказательство: Имеем: 
. Тогда
.
Формула интегрирования заменой переменной:
После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования 
назад к старой переменной 
.
При подходящей замене переменной мы сводим заданный интеграл к табличному.
Пример 1.
Пример 2.
.
Вопрос 57.
Метод интегрирования по частям с примерами
Пусть 
, 
– функции, имеющие непрерывные производные. Тогда
(или 
).
Доказательство: Справедливы соотношения:
и
Сравнивая правые части, получим приведенную выше формулу.
Можно указать приоритеты выбора функции 
.
1) В качестве выбирается одна из функций 
, 
.
2) При отсутствии этих функций в подынтегральном выражении в качестве может быть выбрана находящаяся в числителе степенная функция с целым положительным показателем степени.
Других приоритетов при выборе этой функции нет, выбор в этом случае осуществляется перебором возможных вариантов.
Пример 1.
Пример 2.
Вопрос 36.
Свойства непрерывных в точке функций. Примеры непрерывных функций.
1).Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Действительно, из определения 1 непрерывности следует, что если 
и 
, то
.
2). Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.
3). Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель в предельной точке не равен нулю.
Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств пределов.
4). Пусть функция 
непрерывна в точке 
, пусть функция 
непрерывна в точке 
. Тогда функция 
непрерывна в точке 
.
Очевидно, что 
.
Так как согласно определению 3 непрерывности 
при 
и 
при , получим: при .
Таким образом, непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.
Пример. Функция 
непрерывна во всех точках числовой оси, так как функция 
непрерывна на 
, а функция 
непрерывна на множестве неотрицательных чисел.
Вопрос 37.
Задача о проведении касательной к кривой.
Пусть заданная кривая является графиком непрерывной функции 
, и требуется провести касательную к этой кривой в точке 
. Заметим, что касательная – это прямая, получающаяся в пределе из хорд, проходящих через точки 
и 
, когда . Уравнение хорды – прямой, проходящей через две заданные различные точки, – имеет вид: 
или 
. Делая предельный переход при , получим предельное значение углового коэффициента хорд – угловой коэффициент касательной: 
. На рисунке касательная представлена пунктиром. Итак, 
, где 
– угол, образованный касательной с положительным направлением оси 
.
Очевидно, что существуют непрерывные кривые, в некоторых точках которых провести касательную невозможно.
Вопрос 38.
