Теорема Эйлера для многогранников. Существование 5 типов правильных многогранников.

Опр: многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольнгиков, удовлетв. следующим двум условиям:

1)никакие два смежных многоугольника не лежат в одной плоскости

2)объединение всех многоугольников является двухмерным многообразием

Теорема Эйлера. Во всяком выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на две единицы больше числа рёбер.

В-Р+Г=2 x= В-Р+Г -эйлерова характеристика

Пример: n – угольная пирамида: B = n + 1, P = 2n, Г = n + 1, В – Р + Г = n + 1 – 2n + n + 1 = 2

►Если отнять от какого-либо многогранника одну грань, то получится открытая многогранная поверхность, которая будет иметь то же число вершин и то же число рёбер, как первоначальный многогранник, но на единицу меньше граней.

Следовательно, остается только до­казать, что если односвязная незамк­нутая многогранная поверхность имеет Г граней, В вершин и Р ребер, то Г+В=Р+1

Теорема очевидна для случая, когда Г = 1. так как в этом случае поверхность обращается в плоский многоуголь­ник, для которого всегда В=Р. Пред­положим теперь, что теорема доказана для всех многогранных поверхностей, число граней которых меньше Г. докажем в таком случае ее справедливость для поверхности, число граней которой равняетсяГ.

С этой целью соединим две вершины, принадлежащие краю по­верхности ломаной, которая отлична от края поверхности, образована ребрами этой поверхности и не пересекает себя ни в одной точке. И разрежем поверхность по этой ломаной. Поверхность разобьется при атом на две односвязные части; пусть одна из них имеет Г₁ граней,В₁ вершин, Р₁ ребер; а другая Г₂ граней,В₂ вершин, Р₂ ребер Числа Г₁ иГ₂ будут меньше числа F, н мы имеем право написать:

(1)

 

Но если число рёбер разреза равняется λ и, следовательно, число его вершин равняется λ+1, то будем иметь:

Г₁+Г₂=Г+ λ, В₁+В₂=В+ λ+1,

тих как, если сосчитать число ребер или вершин каждой из двух частей и результаты сложить, то каждое ребро или вершина, не принадлежащие разрезу, будут входить и эту сумму один раз, а каждое ребро или вершина, принадлежащие разрезу, - два раза.

Так как, кроме того,Г₁+Г₂=Г, то, складывая два уравнения (1), будем иметь:

Г+В+ λ +1=Р + λ + 2,

т. е. соотношение, равносильное тому, которое надо было получить.

Опр: Многогранник называется топологически правильным, если у него все грани имеют одно и тоже число вершин, а многогранные углы одно и тоже число граней.

существует только 5 типов топологически правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Подсчитаем число ребер Р топологически правильного многогранника. Пусть n – число вершин каждой грани, m – число граней в каждом многогранном угле. Тогда

1) всего ребер Р, тогда , т.к. каждое ребро является общим для двух граней;

2) всего вершин В, тогда , т.к. каждое ребро соединяет две вершины;

3) В – Р + Г = 2. Поскольку , то

Подводя итог, имеем: 1) m = n = 3 – тетраэдр; 2) m = 3, n = 4 – гексаэдр; 3) m = 4, n = 3 – октаэдр;

4) m = 3, n = 5 – додекаэдр; 5) m = 5, n = 3 – икосаэдр.

		m	n	В	Р	Г
	Тетраэдр(4-уг)
	Гексаэдр(6-уг)
	Додекаэдр(12-уг)
	Октаэдр(8гр)
	Икосаэдр(20гр)