Математическая модель полного факторного

Эксперимента

Для движения к точке оптимума при N = 2² (таблица 1.1) нам нужна линейная модель у=в_о+ в₁х₁ + в₂х₂. Необходимо по результатам эксперимента найти значения неизвестных коэффициентов модели. Коэффициенты модели вычисляются по формуле:

где j=0,1,2,…, k.

 

Определим коэффициенты b₁ и b₂:

 

,

,

Для подсчета коэффициентов b₁ используется вектор-столбец х₁, а для b₂ – вектор-столбец х₂ (смотрите таблицу 1.1). Коэффициент в₀ определяется из условия, что у=в₀+ в₁х₁ +в₂х₂ справедливо, значит, оно верно и для средних арифметических значений переменных . В силу свойства симметрии . Следовательно, .

Чтобы привести эту процедуру в соответствие с формулой для вычисления коэффициентов, мы в матрицу планирования введем вектор-столбец фиктивной переменной х₀, которая принимает во всех случаях значение +1. Поэтому линейную модель у = в₀ + в₁х₁ + в₂х₂ запишем в виде:

у=в₀х₀+в₁х₁+в₂х₂

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов: чем большая численная величина коэффициентов, тем больше влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус - уменьшается.

Очень часто эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. Для полного факторного эксперимента матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия представлена в таблице 1.2.

Таблица 1.2 – Матрица планирования 2² эксперимента с учетом взаимодействия факторов

Номер опыта	х0	х1	х2	х1 х2	у
	+1	-1	-1	+1	у1
	+1	+1	-1	-1	у2
	+1	-1	+1	-1	у3
	+1	+1	+1	+1	у4

Получим уравнение:

у=в₀х₀+в₁х₁+в₂х₂+в₁₂х₁х₂.

Коэффициент в₁₂ определяется аналогично предыдущим коэффициентам. Столбцы х₁ и х₂ задают планирование – по ним определяют условия опытов, а столбцы х₀ и х₁х₂ служат только для расчета.

В таблице 1.3 приведена матрица планирования 2³ для трех факторов (для удобства в расчетах факторы обозначим через z₁, z₂, z₃).

Таблица 1.3 – Матрица планирования 2³:

№ эксперимента	Изучаемые факторы
z1	z2,	z3
	+	+	+
	-	+	+
	+	-	+
	-	-	+
	+	+	-
	-	+	-
	+	-	-
	-	-	-

 

Для обработки результатов проведенных экспериментов и дальнейшего определения коэффициентов уравнения регрессии факторы приводят к одному масштабу. Это достигается путем кодирования переменных. Обозначим нижний уровень фактора z_i через z_i^-, а верхний через z_i⁺. Тогда новые кодированные переменные x_i будут определяться через z_i по формуле:

,

где – центр плана,

- интервал варьирования, который опеределяют по формулам:

,

,

При таком кодировании все новые переменные будут принимать значения от -1 до +1, т.е. x_i =[-1;+1], i=1…k.

Линейное уравнение регрессии относительно новых переменных с учетом большого количества факторов имеет вид:

у=в₀х₀+в₁х₁+в₂х₂+…+в_кх_к

 

Если необходимо изучить влияние парных взаимодействий различных факторов на исследуемый параметр, то уравнение регрессии записывают в виде:

у=в₀х₀+в₁х₁+…+в_кх_к+в_1,2х₁х₂+в_1,3х₁х₃+…+в_к-1,кх_к,

или

 

Прежде чем определять коэффициенты выбранной модели, матрицу планирования записывают относительно новых переменных (таблица 1.4).

Таблица 1.4 – Матрица планирования для обработки результатов

№ экспе-римента	Факторы	Взаимодействия	Результаты опытов	Среднее результатов
x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2x3	y1	y2	y3	y4
	+	+	+	+	+	+	y11	y12	y13	y14
	-	+	+	-	-	+	y21	y22	y23	y24
	+	-	+	-	+	-	y31	y32	y33	y34
	-	-	+	+	-	-	y41	y42	y43	y44
	+	+	-	+	-	-	y51	y52	y53	y54
	-	+	-	-	+	-	y61	y62	y63	y64
	+	-	-	-	-	+	y71	y72	y73	y74
	-	-	-	+	+	+	y81	y82	y83	y84

Необходимо выполнить несколько серий опытов для каждого эксперимента, для проверки уравнения на адекватность.

Адекватность – это способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью. Результаты опытов в каждом j-ом эксперименте (j=1,…,n) записывают в правые столбцы матрицы планирования. В последнем столбце записывают средние значения полученных результатов для каждой серии опытов. Если каждый эксперимент повторяли m раз, то в матрице будет записано m столбцов у₁, у₂… у_m. Например, из таблицы 1.4 видно, что каждый эксперимент повторялся 4 раза, т.е. m=4.

Среднее значение для каждого эксперимента определяется по формуле:

j=(1…n)

Формулы по определению коэффициентов регрессии b₀, b₁ и т.д. были рассмотрены ранее.

Полученные коэффициенты необходимо проверить на значимость. Это можно сделать с помощью критерия Стьюдента: если >t_кр S_коэф., то b значим; если <t_кр S_коэф., то b незначим и его полагают равным нулю в уравнении регрессии.

Критическую точку t_кр находят из таблиц распределения Стьюдента по числу степеней свободы n(m-1) и с заданным уровнем значимости α для случая с двусторонней критической области.

Среднее квадратичное отклонение коэффициентов S_коэф. зависит от дисперсии воспроизводимости результатов по всем приведенным опытам и вычисляется по формуле:

,

Дисперсия вопроизводимости характеризует ошибку всего эксперимента. В случае равномерного дублирования опытов (одинаковое число наблюдений в каждом эксперименте) для расчета используют формулу:

 

где n – число экспериментов (число строк в матрице);

m – число опытов в каждой серии эксперимента;

y_ji – результат отдельного i-го наблюдения в j-ом эксперименте;

– среднее выборочное значение наблюдений для j-го эксперимента.

Проверка на адекватность полученного уравнения регрессии со значимыми коэффициентами осуществляется с помощью критерия Фишера: если F_расч.<F_табл., то уравнение адекватно, в противном случае – неадекватно.

Расчетное значение критерия F_расч. определяют по формуле:

,

где – дисперсия воспроизводимости;

– остаточная дисперсия (дисперсия адекватности).

Остаточная дисперсия определяется по формуле:

,

где n – число экспериментов;

m – число опытов в каждой серии эксперимента;

r – число значимых коэффициентов регрессии в уравнении регрессии;

– среднее выборочное значение наблюдений для j-го эксперимента;

– значение изучаемого параметра, вычисленное по уравнению регрессии со значимыми коэффициентами для j-го эксперимента.

Табличное значение критерия F_табл. находят из таблиц критических точек распределения Фишера по заданному уровню значимости α и по соответствующим степеням свободы k₁=n-r и k₂=n(m-1). Степень свободы k₁ соответствует степени свободы остаточной дисперсии, а k₂ – степень свободы дисперсии воспроизводимости.

Анализ результатов предполагает интерпретацию полученной модели. Интерпретацию модели можно производить только тогда, когда она записана в кодированных переменных. Только в этом случае на коэффициенты не влияет масштаб факторов, и мы можем по величине коэффициентов судить о степени влияния того или иного фактора. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше фактор влияет на отклик (изучаемый параметр). Следовательно, можно расположить факторы по величине их влияния. Знак «плюс» у коэффициента свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет величина отклика, а при знаке «минус» – убывает.

Для получения математической модели в натуральных переменных z_i в уравнение регрессии вместо x_i необходимо подставить их выражения из формулы. При переходе к натуральным переменным коэффициенты уравнения изменяются, и в этом случае пропадает возможность интерпретации влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов. Однако, если уравнение адекватно, то с его помощью можно определять значения исследуемой величины, не проводя эксперимента и придавая факторам значения, которые должны лежать между нижним и верхним уровнем.

Коэффициенты Стьюдента:

 

Коэффициенты Фишера (уровень значимости α=0,05)