Полный факторный эксперимент
Основные понятия и определения
Обычно при первичном планировании эксперимента количество уровней по всем входным факторам выбирают одинаковым. Тогда количество опытов в эксперименте (N э) может быть определено по формуле
N э = p э k э,
где p э – число уровней каждого входного фактора (как правило 2 или 3);
k э – число входных факторов, исследуемых в эксперименте.
Если из анализа априорной информации известно, что исследуемая зависимость Yj = f (X 1, X 2, … Xk) является линейной, то достаточно реализовать эксперимент, в котором каждый входной фактор имеет в эксперименте только два уровня, т. е.
N э = 2 k э.
Такой план эксперимента называется планом первого порядка.
Если из анализа априорной информации известно, что исследуемая зависимость Yj = f (X 1, X 2, … Xk) является нелинейной, то достаточно реализовать эксперимент, в котором каждый входной фактор имеет три уровня. Такой план называется планом второго порядка, а
N э = 3 k э.
Если число уровней каждого фактора равно двум, а число факторов равно тоже двум, то будем иметь полный факторный эксперимент типа 2К, т.е. 22.
Зная количество уровней – 2 и число факторов – 2, составляем матрицу планирования эксперимента (таблица 1.1):
Таблица 1.1 – Матрица планирования эксперимента 22:
| Номер опыта | Кодирование числа факторов | Параметр оптимизации у | |
| Х1 | Х2 | ||
| -1 | -1 | у1 | |
| +1 | -1 | у2 | |
| -1 | +1 | у3 | |
| +1 | +1 | у4 |
Строки в этой таблице соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Каждый столбец в матрице планирования называется вектором-столбцом, а каждая строка – вектором-строкой.
Если для исследования входного фактора было выбрано три уровня, включая нулевой, то в матрице планирования они обозначаются знаками «–» (нижний), «0» (нулевой), «+» (верхний). На рисунке 1.1 показана геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента N = 22. Если выбрано два нижних и два верхних уровня, то они обозначаются как «–2» (второй нижний), «–1» (первый нижний), «+1» (первый верхний) и «+2» (второй верхний).
Рисунок 1.1 Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента N = 22
Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором, то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приеме построения матриц. Из многих возможных приемов будем использовать только один, основанный на правиле чередования знаков. При этом методе в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через два, в третьем – через 4, а в четвертом – через 8 и т.д. по степеням двойки.
По аналогии с полным факторным экспериментом можно дать геометрическую интерпретацию полного факторного эксперимента 23 - это куб, координаты вершин которого задают условия опытов.
Если поместить центр куба в точку основного уровня факторов, а масштабы по осям выбрать так, чтобы интервал варьирования равнялся единице, то получится куб (рисунок 1.2). Куб задает область эксперимента, а центр куба является его центром.
Рисунок 1.2 - Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента N = 23
Свойства полного факторного эксперимента
Эксперимент планируется для того, чтобы получить модель, обладающую оптимальными свойствами. Это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, ибо заранее неизвестно, куда предстоит двигаться в поисках оптимума.
Из построения матрицы следует четыре свойства. Первое – симметричность относительно центра эксперимента. Это свойство формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю.
Второе – условие нормировки. Оно формируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов.
Третье – сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю. Это свойство называется ортогональностью матрицы планирования.
Четвертое – точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на разных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Это свойство называется рототабельностью.