Вопрос 26.
Поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 xy + 2 a 23 yz + 2 a 13 xz + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44= 0,
в котором по крайней мере один из коэффициентов a 11, a 22, a 33, a 12, a 23, a 13 отличен от нуля.
К поверхностям второго порядка относятся
· Сфера,
· эллипсоид,
· однополостной гиперболоид
· двуполостной гиперболоид.
· эллиптический параболоид,
· гиперболический параболоид,
· цилиндрические поверхности,
· конические поверхности.
Эллипсоид
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.
Свойства эллипсоида.
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что 
2. Эллипсоид обладает
· центральной симметрией относительно начала координат,
· осевой симметрией относительно координатных осей,
· плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.
Однополостный гиперболоид.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.
Свойства однополостного гиперболоида.
1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
2. Однополостной гиперболоид обладает
· центральной симметрией относительно начала координат,
· осевой симметрией относительно всех координатных осей,
· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
Двуполостный гиперболоид.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.
Свойства двуполостного гиперболоида.
1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что 
и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает
· центральной симметрией относительно начала координат,
· осевой симметрией относительно всех координатных осей,
· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при 
получается эллипс, при 
– точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.
Цилиндрические поверхности
5. Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой AB, сохраняющей своё направление и пересекающейся с заданной линией (кривой) MN. Линия MN называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении называются образующими цилиндрической поверхности.
6. 
7. Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, называется Части этих плоскостей (ABCDEFG и abcdefg) называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями KM – высота цилиндра. Цилиндр – прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр – наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание – круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым.
Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра. Сечения, параллельные основанию - круги того же радиуса. Сечения, параллельные образующим цилиндра - пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим - эллипсы.
Конус
Конус – это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью (ABCDEF), не проходящей через вершину S. Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины S на основание, называется высотой конуса. Пирамида является частным случаем конуса. Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая SO, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.
Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей - эллипс. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих - парабола (рис.88). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей (рис.89). В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конуса).
Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике (эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.
Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
