Цилиндрические поверхности

Вопрос 26.

Поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a ₁₁ x ² + a ₂₂ y ² + a ₃₃ z ² + 2 a ₁₂ xy + 2 a ₂₃ yz + 2 a ₁₃ xz + 2 a ₁₄ x + 2 a ₂₄ y + 2 a ₃₄ z + a ₄₄= 0,

в котором по крайней мере один из коэффициентов a ₁₁, a ₂₂, a ₃₃, a ₁₂, a ₂₃, a ₁₃ отличен от нуля.

К поверхностям второго порядка относятся

· Сфера,

· эллипсоид,

· однополостной гиперболоид

· двуполостной гиперболоид.

· эллиптический параболоид,

· гиперболический параболоид,

· цилиндрические поверхности,

· конические поверхности.

 

Эллипсоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Эллипсоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Однополостный гиперболоид.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Однополостной гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

 

Двуполостный гиперболоид.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

Цилиндрические поверхности

5. Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой AB, сохраняющей своё направление и пересекающейся с заданной линией (кривой) MN. Линия MN называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении называются образующими цилиндрической поверхности.

6.

7. Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, называется Части этих плоскостей (ABCDEFG и abcdefg) называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями KM – высота цилиндра. Цилиндр – прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр – наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание – круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра. Сечения, параллельные основанию - круги того же радиуса. Сечения, параллельные образующим цилиндра - пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим - эллипсы.

 

Конус

Конус – это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью (ABCDEF), не проходящей через вершину S. Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины S на основание, называется высотой конуса. Пирамида является частным случаем конуса. Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая SO, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.

 

Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей - эллипс. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих - парабола (рис.88). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей (рис.89). В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конуса).

Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике (эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.

 

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид: