Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка

Нехай на відрізку задана неперервна функція , графіком якої є деяка лінія.

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти точки перетину графіка з координатними осями.
Для цього треба розв'язати дві системи рівнянь:

і

Перша система дає точки перетину з віссю OX, а друга — з віссю ОY.

3) Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.

4) Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область визначення функції є інтервалом (пів інтервалом) або кількома інтервалами (пів інтервалами), то слід знайти граничне значення функції, коли х наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.

5) Знайти інтервали монотонності функції.

6) Знайти екстремальні точки функції і побудувати їх на площині.

7) На основі дослідження побудувати графік функції. Для зручності побудови графіка результати дослідження записують у таблицю.

 

17. Якщо ф-ція f(x) неперервна на проміжку [a:b] то вона набуває на цьому проміжку свого найбільшого і найменшого значення. Найбільше значення ф-ції на проміжку [a:b] наз. абсолютним максимумом, а найменше – абсолютним мінімумом.

Ф-ція на відрізку [a:b]досягає найбільшого значення на одному із кінців свого проміжку, або в такій точці, яка є точкою максимума.

Диференціал ф-ції. Нехай ф-ція y=f(x) диференційована на деякому проміжку, тобто для будь-якої т.Х з цього проміжку виконується нерівність =f`(x) + a (a- альфа ) а- нескінченно мала величина вищого порядку.

d y= f`(x) d x + a dx. (d – дельта) 1й доданок – це головна частина приросту, лыныйна відносно d x

2й доданок завжди нескінченно мала величина вищого порядку ніж d x

Добуток f`(x) dx називається диференціалом ф-ції і познач dy=f`(x)dx

Геом. зміст: диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і х до­рівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції y при цьому дорівнює приросту ординати кривої.

 

18. Озн: Впорядковані пари чисел (х0;у0) на координатній площині відп. 1 точка Р(х0;у0). Впорядкованій парі n-дійсних чисел відповідає одна точка Р(х1, х2….;хn)

Озн: Множина точок наз зв’язною, якщо будь-які 2 її точки можна сполучити ламаною лінією таким чином, щоб всі точки цієї лінії належали цій множині.

Озн: множина точок наз обмеженою, якщо всі її точки належать множині точок круга, обмеженого радіуса.

Озн: Множина точок, координати яких задовольняють нерівність (х₁-х₁⁰)² +(х₂-х₂⁰) +…+(х_n- х_n⁰) < б² наз дельта околом т Р (х₁⁰;х₂⁰…х_n⁰)

Озн: Точна наз внутрішньою для множини точок, якщо вона належить цій множині разом з деякими своїми б -околами. Зовнішньою якщо існує її окіл з точок, жодна з яких не належить цій множині

Озн: зв’язка множини, яка складається тільки з внутр. Точок наз відкритою областю.

Озн: точна наж межовою для області, якщо в будь-якому її дельта-околі існують точки, що належать області і не належать їй.

Озн: множина межових точок наз межею області

Озн: Обдасть об’єднана зі своєю межею наз замкненою областю.

Озн: якщо кожній множині Р(х_1;х_2;х_n) з множини D n-вимірного простору поставити у відповідність за деяким законом одне й тільки одне дійсне число Z, то кажуть, що області D задано ф-цію n-незалежних змінних і позначають z=f(x₁;x₂;x₃;…x_n) Z=f(x;y)

Озн: лінією рівня наз множина точок площини, в яких ф-ція Z=f(x;y) набуває однакових значень, тобто стала.

 

19 Наведемо основні теореми диференціального числення.

Теорема Ферма. Нехай функція неперервна в інтервалі і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Тоді, якщо в точці с існує похідна , то .

Теорема Ролля. Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі і на кінцях відрізка набуває однакових значень , то знайдеться хоча б одна точка , в якій .

Теорема Коші. Якщо функції і неперервні на відрізку , диференційовні в інтервалі , причому , , то існує така точка , що

 

.

Теорема Лагранжа. Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі , то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій

 

.

Цю формулу називають формулою Лагранжа або формулою скінченних приростів, оскільки вона виражає точне значення приросту функції через похідну в деякій точці с інтервалу і скінченне значення приросту аргументу .

20. Число В наз границею ф-ції Z=f(x;y) при умови х->х₀ у->у₀ для будь-якого Е>0 існує таке число б>0, що для всіх х, у виконується нерівність 0<(x-x₀)²+ (y-y₀)²<б і виконується нерівність / f(x;y) –B/<E

limf(x;y)=B (х->х₀ у->у₀)