Д-9 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
Обобщенными координатами материальной системы называют независимые между собой параметры, задание которых однозначно определяет положение всех точек системы. Как правило, в задачах механики в качестве обобщенных координат выбирают величины, определяющие линейные или угловые перемещения. В большинстве механических систем количество обобщенных координат системы равно числу ее степеней свободы. Обобщенные координаты обозначают символом qi, i – порядковый номер обобщенной координаты, который изменяется от 1 до k, k – число степеней свободы системы. Производные от обобщенных координат по времени называют обобщенными скоростями 
.
Любое возможное перемещение материальной системы определяется набором бесконечно малых возможных приращений обобщенных координат d qi. Следовательно, сумму работ сил на возможном перемещении системы можно выразить через приращения обобщенных координат:
, (9.1)
где 
– сила, действующая на j -ю точку системы;
– возможное перемещение j -й точки.
В формуле (9.1) введены коэффициенты Qi, которые называют обобщенными силами. Таким образом, обобщенные силы – это величины, равные коэффициентам при элементарных приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы сил, действующих на систему, на ее возможном перемещении. Размерность обобщенной силы определяется размерностью соответствующей обобщенной координаты. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то соответствующая обобщенная сила измеряется в ньютонах. Если в качестве обобщенной координаты выбран угол, то обобщенная сила имеет размерность момента (Н×м).
Для определения обобщенных сил используется один из трех методов:
1) с использованием соотношения (9.1). При этом системе придают такое возможное перемещение, при котором отличным от нуля будет только одно элементарное приращение d qi (d qj = 0 при j ¹ i). Затем следует определить элементарную работу d Ai всех сил, действующих на систему, при этом перемещении. В соответствии с равенством (9.1) обобщенная сила определяется как отношение элементарной работы d Ai к приращению обобщенной координаты:
. (9.2)
Индекс при элементарной работе соответствует номеру обобщенной координаты, приращение которой отлично от нуля.
2) через потенциальную энергию системы. Силы, работа которых не зависит от траектории движения точки приложения, а определяется только начальным и конечным положениями этой точки, называются потенциальными силами. Если на точки материальной системы действуют потенциальные силы, то обобщенная сила Qi, соответствующая обобщенной координате qi, равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии системы по этой координате:
. (9.3)
3) через силы, действующие на точки системы. При этом
,
где 
– сила, действующая на j -ю точку системы, и проекции этой силы на оси декартовой системы координат;
– частная производная от радиус-вектора j -й точки по обобщенной координате qi;
xj, yj, zj – координаты j -й точки.
Из-за трудоемкости последний метод определения обобщенных сил используется при решении задач крайне редко.
Преобразуя общее уравнение динамики системы к форме, содержащей обобщенные координаты и силы, для любой материальной системы можно получить уравнение
, (9.4)
где 
– кинетическая энергия системы;
– частные производные от кинетической энергии по обобщенной скорости 
и обобщенной координате qi соответственно.
Уравнение (9.4) будет выполняться при любом номере обобщенной координаты i. Значит, для системы, которая имеет k степеней свободы, можно записать k дифференциальных уравнений:
(9.5)
Уравнения (9.5) называются уравнениями Лагранжа второго рода. Их количество равно числу обобщенных координат системы. Решение уравнений Лагранжа второго рада позволяет определить зависимость от времени обобщенных координат, характеризующих положение материальной системы.
Если на систему действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода можно преобразовать к виду
,
где 
– функция Лагранжа.
Условие задания Д-9
Система состоит из трех тел массами m 1, m 2, m 3 и пружины с коэффициентом жесткости c. К ней приложена активная сила F и пара сил с моментом M. Радиусы блоков: R 1, r 1, R 2, r 2. Радиусы инерции тела i 1, i 2. При этом для всех блоков выполняются следующие условия: r = 0,5 R; 
. Угол наклона плоскости a. В начальный момент система находилась в покое, а пружина недеформирована. Используя уравнения Лагранжа второго рода, определить максимальную по модулю деформацию пружины и период колебания тел. Исходные данные приведены в таблице 9.1, система изображена на рисунке 9.1. Трение скольжения и сопротивление качению не учитывается.
Рекомендация: в качестве первой обобщенной координаты выбрать угол поворота одного из вращательно движущихся тел, а в качестве второй – деформацию пружины.
Таблица 9.1 – Исходные данные к заданию Д-9
| Вариант | Массы тел, кг | Радиусы, см | Углы, град | c, Н/см | F, кН | M, кН×м | ||||
| m 1 | m 2 | m 3 | R 1 | R 2 | a | b | ||||
| 0,05 | 0,1 | |||||||||
| — | 0,2 | 0,09 | ||||||||
| — | 0,45 | 0,06 | ||||||||
| — | 0,1 | 0,05 | ||||||||
| — | 0,18 | 0,1 | ||||||||
| 0,25 | 0,02 | |||||||||
| — | 0,5 | 0,01 | ||||||||
| — | 0,1 | 0,15 | ||||||||
| — | 0,15 | 0,05 | ||||||||
| 0,2 | 0,085 | |||||||||
| — | 0,4 | 0,08 | ||||||||
| — | 0,05 | 0,3 | ||||||||
| — | 0,95 | 0,01 | ||||||||
| — | 0,3 | 0,1 | ||||||||
| 0,2 | 0,05 | |||||||||
| — | 0,9 | 0,2 | ||||||||
| 0,1 | 0,3 | |||||||||
| — | 0,05 | |||||||||
| 0,5 | 0,08 | |||||||||
| — | 0,4 | 0,25 | ||||||||
| 0,1 | 0,15 | |||||||||
| — | 0,2 | 0,2 | ||||||||
| — | 0,18 | 0,3 | ||||||||
| — | 0,5 | 0,15 | ||||||||
| 0,1 | 0,1 | |||||||||
| — | 0,15 | 0,2 | ||||||||
| — | 0,1 | 0,3 | ||||||||
| — | 0,2 | 0,05 | ||||||||
| — | 0,08 | 0,35 | ||||||||
| — | — | 0,25 | 0,15 |
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
|
Рисунок 9.1 (начало)
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
|
Рисунок 9.1 (продолжение)
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
|
Рисунок 9.1 (продолжение)
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
|
Рисунок 9.1 (окончание)
Пример выполнения задания
Система состоит из трех тел массами m 1 = m 2 = 10 кг, m 3 = 40 кг и пружины с коэффициентом жесткости c = 80 Н/см (рисунок 3.5). К системе приложена активная сила F = 0,15 кН и пара сил с моментом M = 0,1 кН×м. Радиусы блоков: R 1 = 60 см, r 1 = 0,5 R 1 = 30 см, R 2 = 40 см. Радиус инерции первого тела i 1 = 40 см. Тело 2 – однородный цилиндр. Угол наклона плоскости a = 
. В начальный момент система находилась в покое, а пружина недеформирована. Используя уравнения Лагранжа второго рода, определить максимальную по модулю деформацию пружины.
Решение
1 Изображаем исследуемую систему (см. рисунок 9.2). Система имеет две степени свободы. Значит, ее следует характеризовать двумя обобщенными координатами. В качестве одной обобщенной координаты выберем угол поворота вращательно движущегося тела 1 – j. В качестве второй обобщенной координаты выберем деформацию пружины – x (см. рисунок 9.2).
2 Определяем кинетическую энергию системы. Так как система состоит из трех тел, то
T = T 1 + T 2 + T 3,
где T 1 – кинетическая энергия тела 1.
Тело 1 движется вращательно. Значит, 
. Здесь JO – момент инерции тела 1 относительно оси вращения O; w1 – угловая скорость тела 1. Так как для тела 1 известен радиус инерции, то 
. Угловая скорость w1 определяется как производная по времени от угла поворота j. Значит, она совпадает с обобщенной скоростью 
. Подставим полученные выражения в формулу для кинетической энергии первого тела:
,
где T 2 – кинетическая энергия второго тела.
Тело 2 движется плоскопараллельно. Значит,
,
где JC – момент инерции тела 2 относительно оси, проходящей через центр масс C;
w2 – угловая скорость тела 2;
vC – скорость центра масс тела 2.
Так как тело 2 – однородный цилиндр, то 
. Угловые скорости первого w1 и второго w2 тел взаимосвязаны. Для установления этой связи используем метод общей точки. Выберем на теле 1 точку A, а на теле 2 – точку B (см. рисунок 9.2). В силу нерастяжимости нитей скорости этих точек одинаковы 
. Точка A принадлежит вращательно движущемуся телу 1. Значит, 
. Тело 2 катится без проскальзывания по неподвижной поверхности. Мгновенный центр P этого тела находится в точке касания с поверхностью (см. рисунок 9.2). Тогда для скорости точки B запишем 
. Так как скорости точек A и B равны, то 
. Выразим угловую скорость второго тела:
. (9.6)
Точка C принадлежит плоскопараллельно движущемуся телу 2, значит,
. (9.7)
Подставим полученные выражения для JO, w2 и vC в формулу для кинетической энергии второго тела:
,
где 
– кинетическая энергия тела 3, которое движется поступательно.
Если точка C переместится по наклонной плоскости на sC, то перемещение точки D будет равно сумме: 
, где x – деформация пружины. Тогда для скорости точки D получим 
. Подставим vD в формулу для кинетической энергии третьего тела:
.
Сложим кинетические энергии тел и определим T:
. (9.8)
3 Определим обобщенные силы.
3.1 Определим обобщенную силу Q j, соответствующую обобщенной координате j:
а) придадим координате j элементарное приращение dj (рисунок 9.3). Координату x оставим неизменной (d x = 0). В этом случае звено 1 повернется на угол dj. Точка приложения силы 
переместится на d sN =
= R 1 dj. Звено 2 повернется на угол dj2, а точка C переместится вверх по наклонной плоскости на d sC. Все точки тела 3 переместятся по наклонной плоскости на d sD. Так как при рассматриваемом перемещении системы d x = 0, то d sD = d sC;
б) определим сумму элементарных работ сил, действующих на систему, на выбранном перемещении. На систему действуют: силы тяжести 
; реакции цилиндрического шарнира; нормальные реакции 
; активная сила 
; пара сил с моментом M. Силы 
не совершают работы, так как приложены к неподвижной точке O: 
. Силы нормальной реакции направлены перпендикулярно перемещению точек приложения и также не совершают работы: 
. При d x = 0 расстояние между точками C и D остается неизменным. В этом случае работа внутренней силы упругости в пружине равна нулю. Значит, элементарная работа всех сил на рассматриваемом перемещении равна сумме 4 слагаемых:
.
Так как сила 
направлена так же, как и перемещение 
, то
.
Момент M направлен противоположно повороту второго тела 
. Угол поворота dj2 связан с dj так же, как угловая скорость второго звена w2 связана с обобщенной скоростью 
. В соответствии с равенством (9.6) 
. Тогда
.
Сила тяжести 
приложена к точке C, которая при рассматриваемом перемещении системы движется вверх по наклонной плоскости. Значит, работа этой силы 
. Здесь 
– изменение высоты точкой C при движении системы. Используя соотношение (9.7) для скорости точки C, установим связь между перемещением точки C и углом поворота тела 1 
. При этом
.
Перемещение центра масс тела 3 совпадает с перемещением точки C (d x = 0):
;
в) сложим полученные выражения для элементарных работ сил и определим обобщенную силу Q j:
. (9.9)
3.2 Определим обобщенную силу Qx, соответствующую обобщенной координате x:
a) придадим координате x элементарное приращение d x (см. рисунок 9.3). При этом обобщенную координату j оставим неизменной (dj = 0). В этом случае звено 1 остается неподвижным. Следовательно, неподвижна и точка B. Значит звено 2 также неподвижно. Все точки тела 3 перемещаются вверх по наклонной плоскости на d x;
б) определим элементарную работу сил, действующих в системе, на этом перемещении. Силы 
не совершают работы. Так как при dj = 0 звенья 1 и 2 неподвижны, то работы сил 
и пары сил с моментом M также равны нулю 
. При рассматриваемом движении расстояние между точками C и D изменяется на d x. Значит, в данном случае работа внутренней силы упругости пружины не равна нулю. Тогда элементарная работа всех сил будет равна сумме двух слагаемых:
.
Так как центр масс тела 3 перемещается вверх по наклонной плоскости на d x, то
.
На элементарных перемещениях все силы (в том числе и сила упругости) постоянны. Значит,
.
Здесь учтено, что сила упругости по модулю равна произведению коэффициента жесткости на деформацию пружины x и направлена противоположно d x;
с) сложим полученные выражения для элементарных работ сил и определим обобщенную силу Qx:
. (9.10)
4 Подставим полученные выражения в уравнения Лагранжа второго рода. В данной задаче в качестве первой обобщенной координаты выбран угол j (q 1 = j), а в качестве второй – деформация x (q 2 = x). Значит, уравнения Лагранжа (9.5) запишем в виде
. (9.11)
Определим частные производные от кинетической энергии T по обобщенным скоростям. В соответствии с (9.8) получим:
, 
.
Так как выражение (9.8) для кинетической энергии системы не содержит обобщенных координат j, x, то
.
Используем полученные выражения для частных производных и формулы (9.9), (9.10) для обобщенных сил в системе (9.11):
(9.12)
5 Решим полученную систему дифференциальных уравнений. Подставим численные значения величин, входящих в систему (9.12):
После вычислений получим:
(9.13)
Для того чтобы определить период колебаний, надо вывести уравнение для деформации пружины x или угла j. Значит, из первого уравнения системы надо выразить обобщенное ускорение 
:
.
Подставим данное выражение во второе уравнение системы (9.13):
.
Приведем подобные слагаемые:
.
Разделим обе части равенства на 27,34:
.
Последнее уравнение по форме совпадает с динамическим уравнением колебательного движения материальной точки в каноническом виде при отсутствии вязкого сопротивления:
. (9.14)
В этом уравнении k – частота колебаний.
Значит, частота колебания тел системы 
. Период колебания t связан с частотой k следующим образом:
.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (9.14) имеет вид
. (9.15)
Здесь x 1 — частное решение уравнения (9.14).
.
Константы C 1 и C 2 в выражении (9.15) определим из начальных условий движения. По условию задачи в начальный момент времени (t = 0) деформация пружины равна нулю. Значит:
.
Определим скорость изменения деформации пружины 
.
.
Так как в начальный момент времени система находилась в равновесии, то 
. Следовательно,
.
Тогда решение уравнения (9.14) запишется следующим образом
.
Величина x примет максимальное по модулю значение при 
.
.
