Бесконечно малая и бесконечно большиая величины

ПРЕДЕЛ ФУНКИИ

Говорят, что число «g» есть предел функции f(х) в точке , если для каждой последовательности значение независимой переменной , ,…, , находящихся в интервале определения f(x) отличных от и сходящихся к , соответствующая последовательность значения f , ,…, сходится к этому числу «g».

 

Пример:

Возьмём последовательность значений «х» сходящихся к 2 и определим к какому числу стремится соответствующая последовательность значения функции.

х		1,5	1,9	1,99				2,5	2,1	2,05	2,01
	-1	-3,5	-6,22	-6,92			-17	-11,5	-7,82	-7,405	-7,0802

 

Из таблицы видно, что последовательность значений , а последовательность значений функции стремится к -7.

 

 

Число «g» есть предел функции f(x) в точке , если для сколь угодно малого положительного числа Е (число Эпсилон, положительное сколь угодно малое вещественное число) существует такое положительное число (хуй знает что за число такое), при котором для всех значений и удовлетворяющих условию имеет место.

 

 

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ.

Иногда функция имеет в данной точке предел только слева или только справа, то есть функция односторонне ограниченна.

Говорят, что число «g» есть предел функции f(x) слева, когда , если для последовательности , члены которой меньше и сходятся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу «g».

Слева

 

Справа

Из определения одностороннего предела следует, что если функция имеет предел, то существуют её переделы и слева, и справа, и оба они равны пределу функции, но если функция имеет предел справа или слева, то отсюда НЕ следует, что должен существовать предел функции.

 

ДЕЙСТВИЯ НАД ПРЕДЕЛАМИ.

Если в одном и том же интервале определена функция f(x) и g(x), то по средствам арифметических действий можно образовать новую функцию.

 

Теорема №1

Предел суммы, разности и произведения двух функций f(x) и g(x) в точке равняется соответствующей сумме, разности и произведению пределов этих функций в этой точке.

 

Теорема №2

Передел частного f(x) и g(x) в точке , если и , равняется частному пределов этих функций в точке .

 

Пример:

Найти предел отношения двух функций.

=

 

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИАЯ ВЕЛИЧИНЫ

Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю.

Бесконечно большой величиной называется переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.

y=n!

n!=1*2*3*4*5*…*n -факториал

есть бесконечно большая величина при бесконечно малом «x», так как по мере приближения «x» к нулю абсолютное значение неограниченно возрастает.

Выражение «абсолютное значение величины «y» неограниченно возрастает» означает, что |y| с некоторого момента остается большим любого заранее заданного положительного числа. Если «y» бесконечно большая величина, то величина бесконечно малая.