Прямокутна (декартова) система координат в просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей.

Відстань між двома точками A(XA; YA; ZA) i B(XB; YB; ZB) в просторі визначається формулою

Якщо С(XС; YС; ZС) – середина відрізка AB, то

Якщо вектор a, який знаходиться в прямокутній системі координат OXYZ, має початком точку A з координатами XA, YA, ZA, а кінцем – точку B з координатами XB, YB, ZB, то числа XB - XA, YB - YA, ZB - ZA називається його координатами: a(XB - XA; YB - YA; ZB - ZA).

Довжина (модуль) цього вектора:

Сумою векторів a(XA; YA; ZA) і b(XB; YB; ZB) називається вектор c(XA + XB; YA + YB; ZA + ZB).

Добутком вектора a(XA; YA; ZA) на число λ називається вектор λa(λXA; λYA; λZA).

Скалярним добутком векторів a та b, якщо відомі їх координати, є величина a•a = XA•XB + YA•YB + ZA•ZB.

Для кута φ між векторами a та b

 

 

14. Скалярний добуток ( англ. dotproduct, англ. scalarproduct, нім. Skalarprodukt, рос. скалярноепроизведение) — математична операція над двома векторами, результатом якої є скаляр. Скалярний добуток векторів та обчислюється за формулою: де Х та У є довжинами векторів, а дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: =

Два означення добутку векторів.

Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називається функція, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір.

43 Вибірка — це множина об'єктів, подій, зразків або сукупність вимірів, за допомогою визначеної процедури вибраних з статистичної популяції або генеральної сукупності для участі в дослідженні. Зазвичай, розміри популяції дуже великі, що робить прийняття до уваги всіх членів популяції непрактичним або неможливим. Вибірка представляє собою множину або сукупність певного обсягу, члени якої збираються і статистичні характеристики обчислюється таким чином, що в результаті можна зробити висновки або екстраполяцію із вибірки на всю популяцію або генеральну сукупність.

Генеральною сукупністю наз. імовірнісний простір тобто простір елементарних подій Ω із заданими на ньому полем подій S і ймовірностями Р) і визначена на цьому просторі випадкова величина Х.Одиницею генеральної сукупності наз. елементарна подія і значення випадкової величини, що їй відповідає.

Вибіркою об’єму n називають послідовність х1,х2,…хn, n незалежних однаково розподілених випадкових величин, розподіл кожної з яких співпадає з розподілом досліджуваної випадкової величини Х.

Тобто випадкова вибірка – це результат n послідовних і незалежих спостережень над випадковою величиною Х, що представляє генеральну сукупність.

Для кінцевої генеральної сукупності випадковий рівноможливий вибір на кожному кроці приводить до залежності окремих спостережень, випадковий рівноможливий вибір з поверненням до незалежності спостережень.

Конкретний набір вибіркових значень х1,х2,…хn слід розглядати як реалізацію (одну з багатьох) багатовимірної випадкової величини х1,х2,…хn, компоненти якої незалежні і мають одну і ту ж функцію розподілу F(x), що відповідає генеральній сукупності. Тому багатовимірна випадкова величина х1,х2,…хn, що характеризує вибірку,

варіаційним рядом (або генеральною сукупністю), побудованим за вибіркою X1, X2,..., XN, називають послідовність xi, розміщених у порядку зростання: X[1]≤ X[2]≤...≤X[N]. Варіаційний ряд - упорядкована за величиною послідовність вибіркових значень спостережуваної випадкової величини рівні між собою елементи вибірки нумеруються в довільному порядку; елементи варіаційного ряду називаються порядковими (ранговими) статистиками; число λm = m / n називається рангом порядкової статистикиВаріаційний ряд використовується для побудови емпіричної функції розподілу. Якщо елементи варіаційного ряду незалежні і мають загальну щільність розподілу f, то спільна щільність розподілу елементів варіаційного ряду має вигляд

Гістогра́ма (від грец. histos, тут стовп + gramma — межа, буква, написання) — спосіб графічного представлення табличних даних. Являє собою діаграму, що складається з прямокутників без розривів між ними.

Побудова [ред.] Горизонтальні межі прямокутника — інтервал групування статистичного ряду. Нижня межа прямокутника розміщена на осі 0x, а висота задається формулою де — значення даного інтервалу статистичного ряду

, — кількість інтервалі— кількість інтервалів, а його ширина.

айчастіше, для зручності беруть рівномірне розбиття статистичного ряду, тобто однакові розміри інтервалів Таким чином, гістограма є графічним зображенням залежності частоти попадання елементів вибірки від відповідного інтервалу групування.