Пример решения задачи о сложном движении точки

Основные понятия, определения и формулы

Сложным называется такое движение точки, при котором она участвует одновременно в нескольких движениях. Представление сложного движения в виде комбинации простых составляющих часто позволяет получать характеристики этого движения без использования громоздких математических выкладок.

Примером сложного движения является, например, движение точек лопастей вентилятора, установленного в перемещающемся автомобиле. С одной стороны, вентилятор движется вместе с автомобилем, а с другой – точки его лопастей перемещаются по отношению к автомобилю.

Движение тела, любое перемещение которого вызывает перемещение всех точек рассматриваемой системы, называют переносным. Движение точки по отношению к телу, задающему переносное движение, называют относительным. Одновременное осуществление переносного и относительного движений, наблюдаемое с неподвижной системы отсчета, называют абсолютным движением. При решении большинства технических задач в качестве неподвижной принимают систему отсчета, связанную с Землей.

Таким образом, в приведенном примере переносным является движение автомобиля, относительным – движение точек лопастей вентилятора относительно автомобиля, а абсолютным – движение тех же точек относительно Земли.

Для определения переносной скорости точки следует мысленно остановить относительное движение и искать переносную скорость как скорость той точки тела, задающего переносное движение, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка. Чтобы найти относительную скорость точки, нужно мысленно остановить переносное движение и вычислить скорость в движении точки только по отношению к этому телу. Аналогично определяются переносное и относительное ускорения.

При сложном движении точки выполняется теорема о сложении скоростей, согласно которой абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей

. (4.1)

Решение задач при этом сводится к построению треугольника или параллелограмма скоростей и определению элементов получающихся геометрических фигур либо с использованием правил геометрии, либо проецированием геометрического равенства (4.1) на декартовы оси координат.

Зависимость между ускорениями точки при сложном движении определяется теоремой Кориолиса. В соответствии с ней абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного , относительного ускорений и ускорения Кориолиса

Если известны траектории точки в переносном и относительном движениях, то соответствующие ускорения целесообразно представлять в виде сумм касательных и нормальных ускорений. При этом формула (4.1) приобретает следующий вид

. (4.2)

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости точки:

Его численное значение определяется по формуле

. (4.3)

Из формулы (4.3) следует, что ускорение Кориолиса обращается в нуль, если равны нулю угловая скорость переносного движения или относительная скорость, а также, если векторы и параллельны (в последнем случае вектор параллелен оси переносного вращения).

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного перемножения векторов. Вектор кориолисова ускорения направляется перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и , так, чтобы векторы , и образовывали правую тройку.

При решении задач для нахождения направления этого ускорения применяют правило Н. Е. Жуковского: сначала проецируют вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную к оси переносного вращения (вектору угловой скорости ), а затем в этой плоскости поворачивают найденную проекцию на угол в сторону, указываемую угловой скоростью.

При использовании теоремы о сложении ускорений, описываемой выражением (4.2), как правило, используют метод проекций.

Пример решения задачи о сложном движении точки

Исходные данные: трубка AB вращается вокруг вертикальной оси по закону рад (рисунок 4.1). Точка М движется относительно трубки согласно уравнению (см); R = 12 см, b = 6 см.

Определить: абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t ₁ = 1 с.

Решение

1 Определяем положение точки на траектории, соответствующее заданному моменту времени. Для этого подставляем значение t в зависимость s (t):

Рисунок 4.1

см.

Найдем угол a, который составляет радиус КМ с отрезком AB. Воспользуемся тем, что длина дуги s связана с соответствующим ей центральным углом a (он показан на рисунке 4.2) соотношением . Отсюда

рад.

Таким образом, a = 120°, и радиус KM ₁ образует в заданный момент времени угол 30° с горизонталью. Исходя из найденного значения, изображаем точку М ₁ на схеме (см. рисунок 4.2).

2 Выделяем переносное и относительное движение точки и находим ее абсолютную скорость.

Рисунок 4.2

Переносным движением является вращение трубки вокруг вертикальной оси, которое описывается законом j = j(t). Относительным – движение точки M по отношению к трубке в соответствии с уравнением s = s (t).

Расчет абсолютной скорости ведем в соответствии с зависимостью

Для определения переносной скорости предполагаем, что относительное движение отсутствует, и рассматриваем движение точки M ₁ вместе с трубкой. В этом движении точка движется по окружности радиуса CM ₁, как это показано на рисунке 4.3, а. Поскольку переносное движение вращательное, то для расчета значения переносной скорости воспользуемся формулой

где h – расстояние от точки до оси вращения

см;

– угловая скорость переносного вращения,

, при t ₁ = 1 с рад/с.

Угловая скорость получилась отрицательной, поэтому направление противоположно указанному направлению отсчета угла j.

Таким образом,

см/с.

Вектор переносной скорости направляем по касательной к окружности радиуса СМ ₁ в сторону, определяемую угловой скоростью (см. рисунок 4.3, а).

Рисунок 4.3

Чтобы найти относительную скорость, предположим, что отсутствует вращение трубки, как это показано на рисунке 4.3, б. Значение этой скорости определим по формуле

В заданный момент времени t ₁ = 1 с

см/с.

Поскольку значение скорости оказалось положительным, то ее вектор направлен по касательной к дуге АВ в сторону увеличения расстояния s.

Так как векторы и перпендикулярны друг другу, то для нахождения значения абсолютной скорости воспользуемся теоремой Пифагора:

см/с.

3 Определяем абсолютное ускорение точки M.

Для его расчета воспользуемся теоремой Кориолиса, записанной в виде:

. (4.4)

Переносное движение вращательное, поэтому расчет ускорений при этом виде движения выполняем по формулам:

; .

Поскольку

рад/с²,

то при подстановке численных значений получаем:

см/с²; см/с².

Угловое ускорение получилось положительным, поэтому его направление совпадает с направлением отсчета угла поворота. Векторы касательного и нормального переносного ускорений направляются по касательной к траектории переносного движения в сторону углового ускорения и к центру кривизны траектории соответственно, как это показано на рисунке 4.3, а.

В относительном движении происходит перемещение точки по заданной криволинейной траектории. Поэтому расчет составляющих ускорения выполняем по формулам

см/с².

Здесь ρ = R – радиус кривизны траектории в относительном движении.

На рисунке 4.3, б показаны векторы относительного касательного и нормального ускорений. Первый из них направлен по касательной к траектории относительного движения в сторону увеличения расстояния s (так как соответствующее ускорение оказалось положительным), а второй – к центру кривизны той же траектории.

Кориолисово ускорение рассчитываем по формуле

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, как это показано на рисунке 4.4. Тогда ускорение Кориолиса

см/с².

Рисунок 4.4

Чтобы найти его направление по правилу Жуковского, проецируем вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения. В рассматриваемом случае это горизонтальная плоскость, которая видна в натуральную величину на виде сверху рисунка 4.4. Теперь полученную проекцию поворачиваем на 90° в сторону, указываемую

. Туда и направлен вектор

Теперь для расчета значений проекций абсолютного ускорения спроецируем векторы, входящие в формулу (4.4), на оси декартовой системы координат:

Теперь находим искомое значение абсолютного ускорения точки

4.3 Условие задания К-4

Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения

при сложном движении точки

Тело вращается относительно неподвижной оси либо движется поступательно по заданному закону (рисунок 4.5). Относительно этого тела из положения А в положение В движется точка М, положение которой определяется заданным уравнением. Для заданного момента времени t:

1) определить положение точки на траектории и изобразить его на рисунке;

2) выделить переносное и относительное движение точки; рассчитать значения ее переносной и относительной скоростей; показать на рисунке векторы переносной, относительной и абсолютной скоростей; определить абсолютную скорость точки;

3) найти составляющие абсолютного ускорения точки и изобразить их на рисунке; рассчитать численное значение абсолютного ускорения точки.