Определение ускорений точек тела, движущегося плоско

Представление плоскопараллельного движения тела в виде комбинации поступательного движения вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса приводит к следующему соотношению для расчета ускорений

, (3.2)

где – ускорение полюса,

, – касательное и нормальное ускорения при движении точки В вокруг полюса А. Расчет этих ускорений ведется по формулам:

; .

Рисунок 3.8

Вектор направляется перпендикулярно АВ в сторону углового ускорения тела, а вектор – от точки B к точке A, как это показано на рисунке 3.8.

Угловая скорость ω в результате расчета скоростей является известной. Если расстояние от какой-либо точки до МЦС постоянно в течение всего процесса движения или изменяется по известному или легко определяемому закону, то угловое ускорение определяют как производную от угловой скорости тела. Этот прием, в частности, используется для расчетов угловых ускорений катящихся тел. В иных случаях нахождение касательных ускорений в движении точек вокруг полюса, а с ними и угловых ускорений тел, осуществляется путем решения векторного уравнения (3.2). Из-за указанных различий в способах определения углового ускорения далее приведены два примера решения задания К-3.

В случаях, когда необходимо найти ускорения нескольких точек тела, движущегося плоско, удобно использовать мгновенный центр ускорений. Более подробно о его применении можно узнать из литературы [1–3].

Примеры выполнения задач контрольной работы

Задача 1

Исходные данные (рисунок 3.9):

; ; ;

AC = 15 см, AB = 20 см.

Определить: угловую скорость и угловое ускорение блока 2, линейные скорости и линейные ускорения точек В и С.

Решение

Рисунок 3.9

1 Выполняем необходимые построения для изображения векторов скоростей. Поскольку блок 2 катится без проскальзывания по нерастяжимой нити PD, то его мгновенный центр скоростей находится в точке Р, как это показано на рисунке 3.10. В соответствии с условием точка Е колеса 1 движется вниз, поэтому вниз движется и точка К блока 2. Следовательно, направление ω₂ соответствует вращению по ходу часовой стрелки.

Чтобы определить направления векторов скоростей точек В и С, проводим отрезки, соединяющие эти точки с МЦС. Соответствующие векторы скоростей направляются перпендикулярно этим отрезкам в сторону поворота тела по отношению к точке Р.

2 Определяем угловую скорость блока 2 и линейные скорости точек В и С.

Рисунок 3.10

Скорость точки Е, находящейся на вращающемся теле 1,

.

Поскольку точки Е и К связаны нерастяжимой нитью, то их линейные скорости одинаковы

.

Скорость точки К может быть выражена через угловую скорость ω₂ так:

.

Отсюда

.

В заданный момент времени

.

Теперь можно определить линейные скорости точек В и С:

;

Здесь расстояние ВР определено из прямоугольного треугольника РАВ по теореме Пифагора, а длина СР – по теореме косинусов из треугольника РАС.

3 Рассчитываем угловое ускорение тела 2 и линейные ускорения точек В и С.

При расчете ускорений в качестве полюса следует взять точку, для которой известна траектория. Из схемы механизма видно, что центр блока (точка А) движется вдоль вертикальной прямой. Следовательно, у нее отсутствует нормальное ускорение. Для нахождения ее касательного ускорения следует продифференцировать выражение скорости v _A по времени. Эта скорость может быть найдена по формуле

.

Поскольку размеры, входящие в это выражение, не меняются в процессе движения, то при дифференцировании получаем:

.

Ускорение точки В теперь можно определить из выражения

. (3.3)

Значения составляющих ускорения и находим по формулам:

,

.

Для определения углового ускорения ε₂ продифференцируем по времени выражение угловой скорости ω₂:

.

Тогда

.

Поскольку движение тела 1 ускоренное (направления ω₁ и ε₁ совпадают), то вращение блока 2 так же ускоренное. Поэтому направление углового ускорения ε₂ такое же, как и угловой скорости ω₂. По той же причине вектор ускорения точки А сонаправлен с ее вектором скорости.

Рисунок 3.11

Вектор направляется перпендикулярно отрезку АВ в сторону углового ускорения звена 2, а вектор – от точки В к точке А, как это показано на рисунке 3.11.

Проецируя векторное равенство (3.3) на оси декартовой системы координат, получаем:

Аx: ,

Аy: .

Отсюда полное ускорение точки В

.

Расчет ускорения точки С выполняем по аналогичному с точкой B алгоритму. В качестве полюса используем, по-прежнему, точку А. Тогда

; (3.4)

;

.

Векторы и направляем по тому же правилу, как и векторы и .

Проецируя выражение (3.4) на оси координат, получаем

Аx: ;

Аy: .

Таким образом,

.

Задача 2

Исходные данные: в изображенном на рисунке 3.12 механизме ОА = 10 см, СВ = 10 см. В заданном его положении рад/с, рад/с².

Рисунок 3.12

Определить: линейные скорость и ускорение точек В и С, угловые скорость и ускорение звена 2.

Решение

1 Выполняем построения для изображения векторов скоростей. Точка А находится на вращающемся теле 1. Поэтому она движется по окружности радиуса ОА, и вектор ее скорости направляется перпендикулярно отрезку ОА в сторону вращения стержня, как это показано на рисунке 3.13. Точка В движется по прямой ОВ. Следовательно, вектор ее скорости должен лежать на этой прямой.

Рисунок 3.13

Поскольку известны направления векторов скоростей точек А и В, то определяем положение МЦС как точки Р пересечения перпендикуляров к названным векторам скоростей.

Вектор скорости точки А направлен так, что это соответствует повороту звена АВ по ходу часовой стрелки вокруг точки Р. По этому направлению изображаем угловую скорость ω₂.

Чтобы показать вектор скорости точки С, соединяем ее с мгновенным центром скоростей (точкой Р). Названный вектор лежит на перпендикуляре к отрезку РС и направлен в сторону угловой скорости ω₂.

2 Определяем линейные скорости точек В и С и угловую скорость звена 2.

Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, поэтому линейная скорость точки А

см/с.

С другой стороны, точка А принадлежит телу 2, которое в данный момент времени совершает поворот вокруг точки Р. Следовательно,

. (3.5)

Для нахождения угловой скорости ω₂ следует определить расстояние АР. Из треугольника ОАВ (см. рисунок 3.12), используя теорему синусов, получаем:

;

см;

см.

Из прямоугольного треугольника ОВР (см. рисунок 3.13)

см.

Следовательно, см.

Тогда из формулы (3.5) следует, что

рад/с.

Используя выражения, аналогичные (3.5), находим линейные скорости точек В и С:

; .

В прямоугольном треугольнике ОВР углы при вершинах О и Р одинаковы. Поэтому см. Следовательно,

см/с.

Для определения расстояния РС применим к треугольнику РСВ теорему косинусов. Из нее следует, что

см.

Тогда окончательно находим

см/с.

3 Определяем ускорения точек В и С и угловое ускорение звена 2.

Поскольку заданы угловая скорость и угловое ускорение звена 1, то вначале рассчитаем ускорение точки А. Она движется по окружности, поэтому ее ускорение имеет касательную и нормальную составляющие:

. (3.6)

Касательное ускорение точки А

.

Оно направляется перпендикулярно отрезку ОА в сторону углового ускорения тела, как это показано на рисунке 3.14.

Нормальное ускорение точки А рассчитывается по формуле

см/с²

Рисунок 3.14

и направляется от точки А к центру кривизны О ее траектории (см. рисунок 3.14).

Теперь известно ускорение точки А. Ее принимаем за полюс при расчетах ускорений точек В и С. Причем вначале будем выполнять расчет для точки В, так как известна траектория ее движения.

Ускорения точек А и В связаны зависимостью

.

Точка В движется по прямой, поэтому у нее отсутствует нормальное ускорение, а ее полное ускорение равно касательному , которое лежит на прямой ОВ, как это показано на рисунке 3.14.

Тогда с учетом выражения (3.6) приходим к векторному равенству

. (3.7)

Вектор направляется перпендикулярно отрезку АВ в сторону углового ускорения звена 2 (оно выбирается произвольно), а вектор – от точки В к точке А. Значение нормального ускорения

см/с².

Для определения углового ускорения звена АВ и полного ускорения точки В используем метод проецирования.

Замечание: расстояние от полюса А до МЦС звена АВ с течением времени изменяется. Поэтому применение дифференцирования выражения угловой скорости для определения углового ускорения звена АВ приведет к весьма громоздким выкладкам.

Проецируя выражение (3.7) на оси координат, получаем

Оx: ; (3.8)

Оy: . (3.9)

Из уравнения (3.9) определяем

Из уравнения (3.8) находим

.

Знак «минус», получившийся при расчете ускорения точки B, показывает, что его действительное направление противоположно изображенному на рисунке 3.14.

Поскольку касательное ускорение в движении точки В вокруг А выражается через угловое ускорение формулой , то

.

Теперь находим ускорение точки С. В качестве полюса снова используем точку А. Тогда ускорение точки С

. (3.10)

Уже найдено угловое ускорение . Поэтому сейчас можем рассчитать и касательное, и нормальное ускорения в движении С вокруг А:

см/с²;

см/с².

Векторы , направляются аналогично векторам и .

Траектория точки С неизвестна, поэтому удобнее искать проекции ее ускорения на оси декартовой системы координат, проецируя выражение (3.10) на эти оси:

,

.

Тогда полное ускорение точки С

см/с².

Условие задания К-3

Определение скоростей и ускорений при плоском движении тел

На рисунке 3.15 приведены расчетные схемы механизмов, а также исходные данные для выполнения задания. На их основании:

1 Изобразить в масштабе схему механизма и показать на нем векторы скоростей точек В и С со всеми необходимыми построениями и указать направления вращения звеньев, движущихся непоступательно.

2 По заданной схеме и исходным данным рассчитать линейные скорости точек В и С и угловые скорости звеньев механизма.

3 Определить линейные ускорения точек В и С и угловые ускорения звеньев; изобразить на схеме все составляющие линейных ускорений точек и угловые ускорения звеньев механизма.

;

Рисунок 3.15

Рисунок 3.15 (продолжение)

Рисунок 3.15 (продолжение)

Рисунок 3.15 (продолжение)

Рисунок 3.15 (окончание)