ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Основные понятия и определения
Простейшими движениями твердого тела являются поступательное движение и вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная на теле, остается в течение всего времени движения параллельной самой себе в первоначальном положении. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек твердого тела в каждый момент времени одинаковы. Следовательно, определив параметры движения какой-либо одной его точки, можно описать движение всего тела.
Вращательным называется движение твердого тела, при котором по крайней мере две его точки в течение всего процесса движения остаются неподвижными. Линия, соединяющая неподвижные точки тела, называется осью вращения. Положение вращающегося тела в пространстве определяет его угол поворота 
. Измеряется он в радианах (рад). Зависимость 
, характеризующая изменение этого угла в функции от времени, называется кинематическим уравнением вращательного движения.
Быстроту изменения угла поворота характеризует угловая скорость 
. Она равна первой производной от угла поворота тела по времени:
.
Измеряется угловая скорость в рад/с.
Вектор угловой скорости тела 
имеет модуль, соответствующий значению угловой скорости , и направляется по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.
Для характеристики быстроты изменения угловой скорости во времени служит угловое ускорение. Оно определяется дифференцированием по времени выражения угловой скорости тела
.
Измеряется угловое ускорение в рад/с2.
Вектор углового ускорения вращающегося тела совпадает по направлению с вектором угловой скорости, если вращение ускоренное, и направлен противоположно ему, если вращение замедленное.
Движущиеся точки вращающегося тела описывают окружности с центрами, находящимися на оси вращения. Их линейные скорости можно определить из соотношения
,
где h – расстояние от конкретной точки до оси вращения тела.
Линейное ускорение точки вращающегося тела складывается из касательного и нормального ускорений
.
Касательное и нормальное ускорения, в свою очередь, определяются по формулам:
, 
.
Полное ускорение точки, находящейся на вращающемся теле,
.
|
Для преобразования поступательного движения во вращательное и наоборот, а также для изменения характеристик вращательного движения используются механизмы с зубчатыми, ременными, цепными и др. передачами. При зубчатом зацеплении (рисунок 2.1) для выражения угловой скорости одного из колес через угловую скорость второго надо использовать условие равенства линейных скоростей соприкасающихся точек зубьев обоих колес (точек зацепления):
.
Здесь введены индексы А 1 и А 2 для того, чтобы указать, какому колесу принадлежит контактирующая точка. Используя выражение скорости точки вращающегося тела, получаем:
, 
.
Аналогичные соотношения справедливы и для цепной (ременной) передачи.
Часто на практике встречаются ситуации, когда два колеса вращаются вокруг одной неподвижной оси. Если при этом они жестко соединены друг с другом, как это показано на рисунке 2.2, то их угловые скорости одинаковы:
.
|
Образец выполнения задания контрольной работы
Исходные данные: на рисунке 2.3 приведена схема механизма. Радиусы колес: r 2 = 8 см, r 3 = 15 см, r 4 = 13 см, r 5 = 18 см, r 6 = 11 см. Расстояние ОМ = 16 см. Закон движения ведущего звена (в см) 
.
|
Решение
1 Изображаем механизм с учетом заданных размеров. Он показан на рисунке 2.4.
Рисунок 2.4
2 Определяем угловые скорости тел. Движение от звена 1, совершающего поступательное движение, к вращающемуся телу 2 передается с помощью нити АВ. Линейные скорости точек нити одинаковы. Поэтому 
. Линейную скорость точки A определим с помощью заданного закона движения:
(см/с).
Скорость точки В выражается через угловую скорость соотношением
.
Таким образом, получаем
; 
.
Колеса 2 и 3 жестко связаны между собой. Поэтому
, 
.
Связь между телами 3 и 4 осуществляется через точку C. Следовательно,
; 
; 
; 
; 
.
Поскольку колеса 4 и 5 образуют блок, то
, 
.
Движение от тела 5 к телу 6 передается с помощью ремня. Поэтому
; 
; 
; 
; 
.
3 Рассчитываем линейную скорость и линейное ускорение точки М. Положение точки М определяется поворотом звена 6. Следовательно, ее линейная скорость
.
Для заданного момента времени t 1= 0,4 c получаем
рад/с; 
см/с.
Линейное ускорение точки М, находящейся на вращающемся теле 6, определяется по формуле:
.
Угловое ускорение звена 6 с учетом постоянства радиусов имеет вид:
.
В момент времени t 1= 0,4 c
рад/с2;
см/с2.
По результатам расчетов на схеме (см. рисунок 2.4) нанесены направления угловых скоростей, углового ускорения звена 6, а также показаны векторы скорости и ускорения точки М.
Условие задания К-2
Преобразование движений в зубчатых, цепных и ременных передачах
Для изображенных на рисунке 2.5 механизмов заданы радиусы колес и уравнение движения звена 1. Колеса, вращающиеся вокруг общей оси, жестко скреплены между собой. На основании приведенных в таблице 4 исходных данных:
1) изобразить механизм в масштабе с учетом правил инженерной графики;
2) используя закон движения звена 1, последовательно составить условия передачи движения и получить выражения угловых скоростей каждого вращающегося тела;
3) рассчитать скорость и ускорение выделенной точки М для заданного момента времени, соответствующие векторы изобразить на рисунке.
 | 
| ||||
 | 
| ||||
 | 
|
Рисунок 2.5
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
 | 
|
Рисунок 2.5 (продолжение)
 | 
| ||||
 | 
| ||||
 | 
| ||||
 | 
|
Рисунок 2.5 (продолжение)
 | 
| ||||
 | 
| ||||
 | 
| ||||
 | 
|
Рисунок 2.5 (окончание)
Таблица 4 – Исходные данные к заданию К-2
| Вариант | Уравнение движения звена 1 (s, м; φ, рад) | Радиусы колес, см | Время t 1, c | ||||
| r 1 | r 2 | r 3 | r 4 | r 5 | |||
| s 1 = 4 t 3 – 2 t | – | ||||||
| s 1 = 2 – 0,5 t 2 | – | 0,5 | |||||
| s 1 = 3 t 3 – t 2 | – | ||||||
| φ1 = 2 – t 3 | |||||||
| – | 3,5 | |||||
| s 1 = 4 t 2 – 4 | – | 3,5 | 1,5 | ||||
| s 1 = 0,5 t 4 | – | ||||||
| s 1 = 3 t 2 – 6 | – | 1,5 | |||||
| – | ||||||
| φ1 = 5 t – 0,5 t 2 | 2,5 | ||||||
| s 1 = 0,5 t 2 +0,2 | – | 2,5 | |||||
| s 1 = 2 t 4 – 3 t 2 | – | 0,5 | |||||
| s 1 = 5 t 2 – t 3 | – | 3,5 | 5,5 | 3,5 | 0,5 | ||
| s 1 = 2 – 1,5 t 2 | – | 3,5 | 3,5 | ||||
| s 1 = 0,5 t4 – 6 | – | 7,5 | 4,5 | ||||
| s 1 = 4 t 2 – t 4 | – | 0,5 | |||||
| – | 1.5 | |||||
| s 1 = 3 t 2 – 4 | – | ||||||
| s 1 = – 4 t 3 + t 2 | – | ||||||
| s 1 = 2 t4 – 3 t | – | 3,5 | 0,5 | ||||
| – | 3,5 | 1,5 | ||||
| φ1 = 0,75 t 4 – 3 | |||||||
| φ1 = 0,5 t 4 – 2 t | 0,5 | ||||||
| s 1 = 3 t 3 – 1 | – | 5,5 | 2,5 | ||||
| s 1 = 6 t 3 – 2 t | – | ||||||
| φ1 = 1,5 t 2 – 3 | 5,5 | 8,5 | |||||
| φ1 = 0,5 t 3 + t 2 | 0,5 | ||||||
| φ1 = 4 – 0,5 t 4 | 1,5 | ||||||
| φ1 = 5 t – 2 t 2 | 2,5 | ||||||
| s 1 = 2 t 4 – 3 t 2 | – |
