Шарик массой m = 1 кг, приобретя в начальном положении скорость vA = 4 м/с, движется по изогнутой трубке ABCD (рисунок 2.2). На прямолинейном участке AB длиной L = 1 м установлена пружина жесткостью c = 2 Н/см. В начальном положении пружина сжата на D lA = 12 см. Время движения по участку CD составляет t 0 = 2 с. Радиус R = 0,3 м. Коэффициент трения скольжения для участков AB и CD равен f = 0,2. Углы a = 30°; b = 45°; g = 60°. Определить скорости шарика в положениях B, C, D.
Рисунок 2.2
Решение:
1 Рассмотрим движение шарика на участке AB.
1.1 Делаем рисунок и изображаем материальную точку в произвольном положении между A и B (рисунок 2.3).
1.2 Указываем векторы сил, действующих на точку. На участке AB на материальную точку действуют: сила тяжести 
, нормальная реакция 
со стороны стенок трубки, сила трения скольжения 
, сила упругости 
.
1.3 Выбираем оси координат. На данном участке траектория точки прямолинейна, поэтому ось x направляем в сторону движения (см. рисунок 2.3).
1.4 Так как известно расстояние между начальным и конечным положениями точки, то применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки
.
В данном случае 
.
1.5 Расписав сумму в правой части последнего равенства, получим
. (2.1)
Определим работу каждой силы:
а) так как начальное положение точки находится "ниже" конечного, то работа силы тяжести отрицательна
.
Здесь D h – разница высот начального и конечного положений точки;
б) работу силы упругости определим по формуле
.
Так как по условию задачи L > 
, в точке B пружина на шарик не действует. Значит 
. Тогда
;
в) так как сила направлена перпендикулярно смещению точки своего приложения, то элементарная работа этой силы равна нулю
.
Здесь N t – проекция силы 
на ось, касательную к траектории точки. Следовательно, работа силы на перемещении AB равна нулю;
г) определим работу силы трения. В соответствии с законом Кулона для силы трения 
. Следовательно, для определения силы трения необходимо найти нормальную реакцию N. С этой целью запишем уравнение движения материальной точки в проекциях на ось y (см. рисунок 2.3):
.
Так как точка движется вдоль оси x, то проекция ускорения на ось y равна нулю.
.
Сила трения не изменяет своего направления и модуля. Значит, работа этой силы равна произведению модуля силы на модуль полного перемещения s точки и на косинус угла j между вектором силы и направлением перемещения. При этом модуль полного перемещения s равен длине L, а угол между вектором силы и вектором перемещения составляет 180°. Следовательно,
.
Подставим полученные выражения для работ сил в выражение (2.1)
.
1.6 Решаем полученное уравнение относительно скорости 
.
Подставим известные численные значения входящих в данное выражение величин
.
2 Рассмотрим движение материальной точки на участке BC.
2.1 Делаем рисунок и изображаем материальную точку в произвольном положении между B и C (рисунок 2.4).
Рисунок 2.4
2.2 Указываем векторы сил, действующих на точку. На участке BC на точку действуют: сила тяжести 
и нормальная реакция 
, направленная к центру кривизны траектории.
2.3 Выбираем оси координат. На участке BC точка движется по известной криволинейной траектории, поэтому выберем естественные оси: касательную (
) и нормаль (
) (см. рисунок 2.4).
2.4 Записываем теорему динамики материальной точки. Так как на данном участке можно найти пройденный точкой путь, то следует использовать теорему об изменении кинетической энергии
.
В данном случае 
.
2.5 Расписав сумму в правой части последнего равенства, получим
. (2.2)
Определим работу каждой силы при перемещении точки из положения B в положение C:
a) для работы силы тяжести запишем 
. Здесь D h – разница высот между начальным и конечным положениями точки. Разделим участок BC на три дуги окружности и определим разницу высот для каждой из них (см. рисунок 2.4):
Тогда
.
Работа силы тяжести будет определяться следующим образом:
;
б) так как сила нормальной реакции 
направлена перпендикулярно смещению материальной точки, то работа этой силы равна нулю 
;
Подставим полученные выражения для работ сил в формулу (2.2)
.
2.6 Решаем полученное уравнение относительно скорости vC
.
Подставим известные численные значения
3 Рассмотрим движение материальной точки на участке CD.
3.1 Делаем рисунок (рисунок 2.5).
3.2 Указываем векторы сил. На участке CD на материальную точку действуют: сила тяжести ; нормальная реакция 
; сила трения скольжения 
.
3.3 Выберем оси координат. На CD траектория точки прямолинейна, поэтому ось x направим в сторону движения, а ось y – перпендикулярно ей.
3.4 Записываем теорему динамики материальной точки. Так как известно время движения точки на участке CD, то следует использовать теорему об изменении количества движения материальной точки
В проекциях на выбранные оси
Так как ось x направлена вдоль движения точки, то 
. Тогда
. (2.3)
3.5 Определяем сумму проекций моментов сил на ось x
.
Воспользуемся законом Кулона для силы трения F тр = fN
.
Произведем интегрирование
.
Определим сумму проекций импульсов сил на ось y
.
Произведем интегрирование
.
Подставим полученные выражения в уравнения (2.3)
3.6 Решаем полученную систему уравнений. Из второго уравнения системы следует, что
.
Тогда из первого:
.
Для искомой скорости точки в положении D получим
.
Подставим известные численные значения входящих в последнее выражение величин
