Некоторые положения теории. Общие теоремы динамики представляют собой преобразованные выражения основного закона динамики материальной точки

Д-2 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

 

Общие теоремы динамики представляют собой преобразованные выражения основного закона динамики материальной точки. К ним относятся: теорема об изменении количества движения материальной точки, теорема об изменении момента количества движения материальной точки, теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

а) Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость

.

Теорема об изменении количества движения материальной точки формулируется так: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на точку сил за тот же промежуток времени,

,

где – скорость точки в начальном и конечном положениях соответственно. Импульс силы за некоторый промежуток времени t равен интегралу от силы по времени от нуля до t:

При решении задач векторное выражение теоремы проецируется на оси координат.

б) Моментом количества движения материальной точки относительно некоторого центра O называется векторная величина , определяемая векторным произведением радиус-вектора точки на вектор ее количества движения

.

Суть теоремы об изменении момента количества движения материальной точки формулируется так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно центра O равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра

.

в) Кинетическая энергия материальной точки – скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,

.

Теорема об изменении кинетической энергии формулируется следующим образом: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении ее из начального положения в конечное равно сумме работ действующих на нее сил на том же перемещении

Работа силы характеризует действие силы на тело в зависимости от перемещения точки приложения силы. Различают элементарную работу силы и работу силы на конечном перемещении . Элементарной работой силы называют скалярное произведение вида

.

Здесь – вектор элементарного перемещения точки приложения силы , направленный по касательной к траектории точки. В соответствии с определением скалярного произведения для определения элементарной работы силы можно записать следующее выражение:

.

Здесь F _t – проекция силы на ось, касательную к траектории точки ее приложения. Работа силы на конечном перемещении получается в результате интегрирования

,

где s ₀, s ₁ – дуговая координата начального и конечного положений точки соответственно.

Рассмотрим некоторые случаи определения работ сил.

Постоянная сила. Если на материальную точку действует постоянная по модулю и направлению сила, то работа такой силы на конечном перемещении определятся следующим образом:

,

где s – значение перемещения; a – угол между вектором силы и направлением перемещения;

Сила тяжести. При перемещении материальной точки из начального в конечное положение работа силы тяжести определяется как

Здесь h ₀, h ₁ – вертикальная координата начального и конечного положений точки соответственно; Δ h – разница высот начального и конечного положений точки;

Сила упругости. Если при движении точки на нее действует сила упругости пружины с коэффициентом жесткости c, то работа этой силы

,

где D l ₀, D l ₁ – деформация пружины в начальном и конечном положениях материальной точки соответственно.

 

Условие задания Д-2

Шарик массой m, принимаемый за материальную точку, приобретя в начальном положении скорость v_A, движется по изогнутой трубке ABCD, расположенной в вертикальной плоскости. На прямолинейном участке AB длины L установлена пружина с коэффициентом жесткости c. Пружина в начальном положении сжата на . После возвращения пружины в недеформированное положение ее действие на шарик прекращается. Время движения по участку CD равно t ₀. На прямолинейных участках коэффициент трения скольжения шарика по трубке f, на криволинейных участках трение не учитывать. На основании исходных данных, приведенных в таблице 2.1, определить скорости шарика в положениях B, C, D (рисунок 2.1).

Таблица 2.1 – Исходные данные к заданию Д-2

Вариант	m, кг	Углы, град	f	c, Н/см	vA, м/с	, см	L, см	R, м	t 0, с
a	b
				0,4					0,4	0,5
			–	0,2	0,3				0,9
	1,5			0,1	0,3				0,3	0,2
			–	0,6					0,2
			–	0,3	0,2				0,1	0,3
			–	0,1	1,5				0,5	0,6

Продолжение таблицы 2.1

 

Вариант	m, кг	Углы, град	f	c, Н/см	vA, м/с	, см	L, см	R, м	t 0, с
a	b
				0,1	0,2				1,2	0,5
			–	0,2	0,6				0,6	0,3
			–	0,5	0,2				0,1	0,1
			–	0,1						1,5
			–	0,1	0,4				1,4	1,2
	2,5		–	0,7	0,4				1,1	0,8
				0,4	0,3				1,5
	0,5			0,3	0,5				1,6	0.4
			–	0,2	0,6				0,2	0,2
			–	0,5	0,5				0,5
	2,5		–	0,1	1,2				0,4	0,1
	1,2			0,4	0,3
			–	0,6					0,3	0,2
			–	0,5	0,2
	0,8		–	0,1	0,4				0,5
		–	–	0,3	0,1				0,7	0,5
			–	0,2	0,4				0,8
			–	0,5					0,2
			–	0,1	0,5				1,2
	2,5		–	0,2	2,5				0,5	0,6
			–	0,6	0,6				1,3
	0,5		–	0,4	0,1				0,1	0,1
			–	0,1	0,3				0,4
		–	–	0,3	0,3				1,2	1,5

 

 

Рисунок 2.1 (начало)

 

Рисунок 2.1 (продолжение)

Рисунок 2.1 (продолжение)

 

Рисунок 2.1 (окончание)