Д-2 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Общие теоремы динамики представляют собой преобразованные выражения основного закона динамики материальной точки. К ним относятся: теорема об изменении количества движения материальной точки, теорема об изменении момента количества движения материальной точки, теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
а) Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость
.
Теорема об изменении количества движения материальной точки формулируется так: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на точку сил за тот же промежуток времени,
,
где 
– скорость точки в начальном и конечном положениях соответственно. Импульс силы за некоторый промежуток времени t равен интегралу от силы по времени от нуля до t:
При решении задач векторное выражение теоремы проецируется на оси координат.
б) Моментом количества движения материальной точки относительно некоторого центра O называется векторная величина 
, определяемая векторным произведением радиус-вектора точки 
на вектор ее количества движения
.
Суть теоремы об изменении момента количества движения материальной точки формулируется так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно центра O равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра
.
в) Кинетическая энергия материальной точки – скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,
.
Теорема об изменении кинетической энергии формулируется следующим образом: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении ее из начального положения в конечное равно сумме работ действующих на нее сил 
на том же перемещении
Работа силы характеризует действие силы на тело в зависимости от перемещения точки приложения силы. Различают элементарную работу силы 
и работу силы на конечном перемещении . Элементарной работой силы 
называют скалярное произведение вида
.
Здесь 
– вектор элементарного перемещения точки приложения силы , направленный по касательной к траектории точки. В соответствии с определением скалярного произведения для определения элементарной работы силы можно записать следующее выражение:
.
Здесь F t – проекция силы на ось, касательную к траектории точки ее приложения. Работа силы на конечном перемещении получается в результате интегрирования
,
где s 0, s 1 – дуговая координата начального и конечного положений точки соответственно.
Рассмотрим некоторые случаи определения работ сил.
Постоянная сила. Если на материальную точку действует постоянная по модулю и направлению сила, то работа такой силы на конечном перемещении определятся следующим образом:
,
где s – значение перемещения; a – угол между вектором силы и направлением перемещения;
Сила тяжести. При перемещении материальной точки из начального в конечное положение работа силы тяжести 
определяется как
Здесь h 0, h 1 – вертикальная координата начального и конечного положений точки соответственно; Δ h – разница высот начального и конечного положений точки;
Сила упругости. Если при движении точки на нее действует сила упругости пружины с коэффициентом жесткости c, то работа этой силы
,
где D l 0, D l 1 – деформация пружины в начальном и конечном положениях материальной точки соответственно.
Условие задания Д-2
Шарик массой m, принимаемый за материальную точку, приобретя в начальном положении скорость vA, движется по изогнутой трубке ABCD, расположенной в вертикальной плоскости. На прямолинейном участке AB длины L установлена пружина с коэффициентом жесткости c. Пружина в начальном положении сжата на 
. После возвращения пружины в недеформированное положение ее действие на шарик прекращается. Время движения по участку CD равно t 0. На прямолинейных участках коэффициент трения скольжения шарика по трубке f, на криволинейных участках трение не учитывать. На основании исходных данных, приведенных в таблице 2.1, определить скорости шарика в положениях B, C, D (рисунок 2.1).
Таблица 2.1 – Исходные данные к заданию Д-2
| Вариант | m, кг | Углы, град | f | c, Н/см | vA, м/с | , см
| L, см | R, м | t 0, с | |
| a | b | |||||||||
| 0,4 | 0,4 | 0,5 | ||||||||
| – | 0,2 | 0,3 | 0,9 | |||||||
| 1,5 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | ||||||
| – | 0,6 | 0,2 | ||||||||
| – | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,3 | ||||||
| – | 0,1 | 1,5 | 0,5 | 0,6 |
Продолжение таблицы 2.1
| Вариант | m, кг | Углы, град | f | c, Н/см | vA, м/с | ,
см
| L, см | R, м | t 0, с | |||
| a | b | |||||||||||
| 0,1 | 0,2 | 1,2 | 0,5 | |||||||||
| – | 0,2 | 0,6 | 0,6 | 0,3 | ||||||||
| – | 0,5 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | ||||||||
| – | 0,1 | 1,5 | ||||||||||
| – | 0,1 | 0,4 | 1,4 | 1,2 | ||||||||
| 2,5 | – | 0,7 | 0,4 | 1,1 | 0,8 | |||||||
| 0,4 | 0,3 | 1,5 | ||||||||||
| 0,5 | 0,3 | 0,5 | 1,6 | 0.4 | ||||||||
| – | 0,2 | 0,6 | 0,2 | 0,2 | ||||||||
| – | 0,5 | 0,5 | 0,5 | |||||||||
| 2,5 | – | 0,1 | 1,2 | 0,4 | 0,1 | |||||||
| 1,2 | 0,4 | 0,3 | ||||||||||
| – | 0,6 | 0,3 | 0,2 | |||||||||
| – | 0,5 | 0,2 | ||||||||||
| 0,8 | – | 0,1 | 0,4 | 0,5 | ||||||||
| – | – | 0,3 | 0,1 | 0,7 | 0,5 | |||||||
| – | 0,2 | 0,4 | 0,8 | |||||||||
| – | 0,5 | 0,2 | ||||||||||
| – | 0,1 | 0,5 | 1,2 | |||||||||
| 2,5 | – | 0,2 | 2,5 | 0,5 | 0,6 | |||||||
| – | 0,6 | 0,6 | 1,3 | |||||||||
| 0,5 | – | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | |||||||
| – | 0,1 | 0,3 | 0,4 | |||||||||
| – | – | 0,3 | 0,3 | 1,2 | 1,5 | |||||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
|
Рисунок 2.1 (начало)
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
|
Рисунок 2.1 (продолжение)
| 
| ||||
 | 
| ||||
|  | ||||
| 
|
Рисунок 2.1 (продолжение)
| 
| ||||
|  | ||||
| 
|
Рисунок 2.1 (окончание)
