Вынужденные колебания. Резонанс.

 

Вынужденные колебания в контуре, состоящем из сопротивления R, емкости С, индуктивности L возникают, если эта цепочка подключена к источнику электродвижущей силы e (t), величина которой меняется со временем t.

В этом случае уравнение колебаний становится неоднородным, поскольку содержит ненулевую правую часть

 

Разделив уравнение на L и вводя прежние обозначения,,, приведем его к виду

 

 

Решим это уравнение для зависимости e (t) в виде

e (t) = e ₀ cosw t,

где e ₀, w - постоянные величины,

w - частота внешней вынуждающей силы.

Решением этого уравнения:

 

 

где

 

- амплитуда вынужденных колебаний;

Сдвиг фаз вынужденного колебания

 

В данных решениях - немонотонная зависимость амплитуды колебаний в системе от частоты вынуждающей силы w.

Особенно ярко это проявляется при отсутствии потерь энергии в системе

 

В этом случае

- при приближении частоты вынуждающей силы w к частоте соответственных колебаний w₀ амплитуда колебаний начинает очень сильно возрастать – наступает резонанс.

Резонанс наступает тогда, когда внешняя периодическая сила (ЭДС) изменяется с частотой w, близкой к частоте собственных колебаний w₀ системы.

Реально всегда существуют причины, ограничивающие амплитуду колебаний в условиях резонанса. Это связано с диссипацией энергии (R ₀) из-за наличия сопротивления и сил трения.

Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе при наличии сопротивления определяется из условия dq ₀/ d w = 0 и равна

 

Амплитуда колебаний при резонансе тем больше, чем меньше сопротивление цепи и выше амплитуда переменной ЭДС:

 

здесь - статическое значение заряда при постоянной ЭДС (w = 0).

Зависимость амплитуды колебания q (t) от частоты внешней вынуждающей силы w называется резонансной кривой.

Важной характеристикой резонансной кривой является ширина резонансной кривой Dw = w₂ - w₁,

где w₁, w₂ - частоты, при которых энергия колебаний вдвое меньше энергии в максимуме.

В случае вынужденных механических колебаний уравнение, описывающее поведение колебательной системы, имеет вид

 

 

Общее решение его имеет вид

x (t) = A (w)cos(w t - a),

где

 

 

- амплитуда установившихся механических колебаний под действием периодической силы, воздействующей с циклической частотой w и амплитудой Fа.

Если частоты w и w₀ близки друг к другу и их полуразность равна, то в этом случае система будет совершать под действием вынужденной силы колебания с частотой, близкой к собственной частоте колебаний в системе.

 

Амплитуда колебаний будет медленно и периодически изменяться со временем.