Вынужденные колебания в контуре, состоящем из сопротивления R, емкости С, индуктивности L возникают, если эта цепочка подключена к источнику электродвижущей силы e (t), величина которой меняется со временем t.
В этом случае уравнение колебаний становится неоднородным, поскольку содержит ненулевую правую часть
 | |||
 | |||
Разделив уравнение на L и вводя прежние обозначения,,, приведем его к виду
Решим это уравнение для зависимости e (t) в виде
e (t) = e 0 cosw t,
где e 0, w - постоянные величины,
w - частота внешней вынуждающей силы.
Решением этого уравнения:
 |
где
- амплитуда вынужденных колебаний;
Сдвиг фаз вынужденного колебания
 |
В данных решениях - немонотонная зависимость амплитуды колебаний в системе от частоты вынуждающей силы w.
Особенно ярко это проявляется при отсутствии потерь энергии в системе
В этом случае
- при приближении частоты вынуждающей силы w к частоте соответственных колебаний w0 амплитуда колебаний начинает очень сильно возрастать – наступает резонанс.
Резонанс наступает тогда, когда внешняя периодическая сила (ЭДС) изменяется с частотой w, близкой к частоте собственных колебаний w0 системы.
Реально всегда существуют причины, ограничивающие амплитуду колебаний в условиях резонанса. Это связано с диссипацией энергии (R 0) из-за наличия сопротивления и сил трения.
Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе при наличии сопротивления определяется из условия dq 0/ d w = 0 и равна
Амплитуда колебаний при резонансе тем больше, чем меньше сопротивление цепи и выше амплитуда переменной ЭДС:
здесь - статическое значение заряда при постоянной ЭДС (w = 0).
Зависимость амплитуды колебания q (t) от частоты внешней вынуждающей силы w называется резонансной кривой.
Важной характеристикой резонансной кривой является ширина резонансной кривой Dw = w2 - w1,
где w1, w2 - частоты, при которых энергия колебаний вдвое меньше энергии в максимуме.
В случае вынужденных механических колебаний уравнение, описывающее поведение колебательной системы, имеет вид
Общее решение его имеет вид
x (t) = A (w)cos(w t - a),
 |
где
- амплитуда установившихся механических колебаний под действием периодической силы, воздействующей с циклической частотой w и амплитудой Fа.
Если частоты w и w0 близки друг к другу и их полуразность равна, то в этом случае система будет совершать под действием вынужденной силы колебания с частотой, близкой к собственной частоте колебаний в системе.
Амплитуда колебаний будет медленно и периодически изменяться со временем.
