Логарифмический декремент затухания. Добротность.

ЭДС самоиндукции. Индуктивность.

 

Если ток в обмотке катушки или соленоида меняется, то меняется и магнитный поток, пронизывающий каждый виток.

Согласно закону Фарадея, в каждом витке обмотки индуцируется ЭДС, во всей катушке величина ЭДС индукции, вызванная изменением тока в этой катушке, – ЭДС самоиндукции

,

где – полный магнитный поток (потокосцепление), охватывающий всю катушку; N – число витков в катушке.

Явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Самоиндукция представляет частный случай электромагнитной индукции.

Направление ЭДС самоиндукции препятствует возрастанию тока в цепи при его увеличении и его убыванию при уменьшении тока в цепи.

Самоиндукция подобна инерции в механическом движении.

Поток вектора магнитной индукции Y, посылаемый током I через свой собственный контур, равен

Y= LI,

где L – коэффициент самоиндукции – индуктивность произвольного замкнутого контура.

Величина индуктивности L определяется геометрией контура, числом витков N, магнитными свойствами окружающей среды.

В частности, для соленоида с магнитным сердечником

,

где m – магнитная проницаемость сердечника; N, l, V – полное число витков, длина и объем соленоида.

Таким образом, ЭДС самоиндукции равна

.

Если индуктивность контура постоянна, то ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока в цепи

За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока 1 Авозникает связанный с ним магнитный поток Y, равный 1 Вб. Эту единицу называют Генри (Гн)

[ L ](Гн)×[ I ](А) = [Y](Вб).

 

Энергия магнитного поля.

 

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружён магнитным полем, причём магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур с индуктивностью L, по которому течёт ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток Ф = LI, причём при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = LdI. Но для изменения потока на величину dФ необходимо совершить работу dА = IdФ = LIdI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна

.

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,

.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве.

Рассмотрим частный случай – однородное магнитное поле внутри длинного соленоида.

Подставив в формулу выражение индуктивности соленоида (индуктивность зависит от числа витков соленоида, его длины l площади S и магнитной проницаемости вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида), получим

.

Зная, что для соленоида , откуда , и учитывая, что , получим

,

где – объём соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него. Поэтому энергия заключена и в объёме соленоида и распределена в нём с постоянной объёмной плотностью

.

Данная формула выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Формула справедлива только для сред, где зависимость B от H линейная, т.е. для пара- и диамагнетиков.

Незатухающие колебания.

 

При отсутствии в цепи омического сопротивления (R = 0) и генератора e. процесс изменения заряда со временем в колебательном контуре описывается уравнением

Домножив это на и введя обозначение, (w₀ - циклическая частота) можно привести его к виду:

 

Решение этого уравнения, описывающего колебания заряда в LC- контуре, имеет вид

q = q ₀ cos(w₀t + j).

Постоянные q ₀ и jопределяются начальными условиями, например значениями тока и заряда при t = 0.

Полученное соотношение описывает и движение груза на пружине (r и F(t) равны нулю)

 

если сопоставить q ® x, L ® m, 1/C ® k,,

x = x ₀ cos(w₀ t + j).

Возникновение колебаний в контуре, состоящем из емкости С и индуктивности L, связано с периодическим превращением энергии электрического поля, сосредоточенного между обкладками конденсатора , в энергию магнитного поля и обратно благодаря наличию инерционного элемента – индуктивности.

Первоначально локализованный на обкладках конденсатора заряд начинает разряжаться через катушку индуктивности.

Благодаря явлению самоиндукции ток в цепи нарастает постепенно до тех пор, пока вся энергия конденсатора не превратится в энергию магнитного поля.

В этот момент заряд на обкладках конденсатора станет равным нулю, а ток в катушке индуктивности достигнет максимума.

Далее ток, не изменяя направления, начнет убывать, но в силу явления электромагнитной индукции ток не сразу упадет до нуля, а будет спадать постепенно.

При этом нижняя пластина конденсатора будет постепенно заряжаться положительно, а верхняя отрицательно.

Возникающее электрическое поле будет тормозить движение зарядов, и постепенно ток в цепи упадет до нуля.

В этот момент заряд на обкладках конденсатора и энергия электрического поля достигнут максимума, а энергия магнитного поля вновь станет равной нулю.

Но заряд на обкладках конденсатора уже сменил знак. К этому времени завершится первый полупериод в колебательном контуре.

Во время второго полупериода ток течет в обратном направлении, увеличивая энергию магнитного поля, как только ток достигнет максимума, начнется новая перезарядка конденсатора.

Эти процессы перезарядки можно сопоставить с колебаниями маятника, где максимальное отклонение тела от положения равновесия соответствует максимальному заряду конденсатора, а максимальная кинетическая энергия маятника в нижней точке траектории аналогична полному переходу энергии конденсатора в энергию магнитного поля - максимальному току в цепи.

В колебательном контуре без активного сопротивления сумма энергий электрического и магнитного полей, запасенных в конденсаторе и катушке индуктивности, остается постоянной.

Свободные незатухающие колебания совершаются системой по закону синуса или косинуса - называются гармоническими колебаниями.

Система возвращается в исходное состояние через минимальное время Т ₀ - период колебаний

q (t + T ₀) = q (t).

Для гармонических колебаний

 

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний

 

 

- собственная или резонансная частота колебательного контура.

Единицей измерения частоты колебаний служит Герц [Гц]=1/[с].

Частоте в один герц соответствует частота, при которой за секунду происходит одно полное колебание.

Величина q ₀ называется амплитудой, а (w₀ t + j) - фазой колебаний, постоянная j - начальная фаза колебаний.

 

Затухающие колебания.

 

Колебательный контур всегда обладает сопротивлением R, если подводящие провода и катушка индуктивности собраны не из сверхпроводящих материалов.

Проходя по такой цепи, ток выделяет джоулево тепло и расходует энергию, первоначально запасенную в колебательной системе.

Колебания в такой системе описываются уравнением, аналогичным незатухающим, но с добавлением слагаемого, описывающего потери энергии на сопротивлении RI:

 

 

По мере рассеяния энергии амплитуда колебаний затухает.

В этом случае решение уравнения естественно выбрать с амплитудой, убывающей со временем:

q (t) = eb- t a (t)

Разделим уравнение на L и введем обозначения:

2b º R / L,

w₀² º 1/ СL,

b- коэффициент затухания.

Уравнение преобразуется к виду

 

 

Подставив в него , придем к уравнению для переменной a (t):

 

 

Если величина w² = w₀² - b² > 0, то решение уравнения совпадает с ранее найденным для незатухающих колебаний:

a (t) = q ₀ cos(w t + j).

Величина заряда на обкладках конденсатора описывается зависимостью

q (t) = q ₀ e-b t cos(w t + j).

Функция q (t) не периодична в смысле q (t) = q (t + T), но она периодически обращается в нуль через равные промежутки времени Т /2 = p/w.

Величину Т = 2p/w называют периодом затухающих колебаний в смысле периодического обращения заряда в нуль

 

Сопротивление цепи понижает частоту колебаний в контуре и увеличивает период колебаний тем сильнее, чем больше отношение

 

Множитель q ₀e^{-b t} называется амплитудой затухающих колебаний.

Амплитуда колебаний при наличии сопротивления экспоненциально убывает со временем.

Если сопротивление цепи так велико, что, то процесс изменения заряда в цепи не будет колебательным,

а станет апериодическим.

 

Логарифмический декремент затухания. Добротность.

 

Затухание колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания l.

Он равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, отличающихся по времени измерения на период

 

 

Здесь a (t) - амплитуда колебаний изучаемой величины, например q, I, U и пр.

Время t, по истечении которого амплитуда колебаний убывает в е раз, называется временем затухания:

 

 

За время t система совершит N полных колебаний, где

 

Таким образом, логарифмический декремент затухания связан с числом колебаний N, приводящим к уменьшению амплитуды в ераз соотношением

 

 

Подставляя в выражение для l значения и, получаем

 

Если затухание в системе невелико, то.

 

Важнейшей характеристикой колебательного контура является добротность Q, величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту:

 

Чем выше добротность, тем большее число колебаний успеет совершить система, прежде чем амплитуда колебаний уменьшится в е (2,71826) раз. При слабом затухании

 

Добротность тем выше, чем меньше относительные потери энергии в контуре за период.