ЭДС самоиндукции. Индуктивность.
Если ток в обмотке катушки или соленоида меняется, то меняется и магнитный поток, пронизывающий каждый виток.
Согласно закону Фарадея, в каждом витке обмотки индуцируется ЭДС, во всей катушке величина ЭДС индукции, вызванная изменением тока в этой катушке, – ЭДС самоиндукции
,
где 
– полный магнитный поток (потокосцепление), охватывающий всю катушку; N – число витков в катушке.
Явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.
Самоиндукция представляет частный случай электромагнитной индукции.
Направление ЭДС самоиндукции препятствует возрастанию тока в цепи при его увеличении и его убыванию при уменьшении тока в цепи.
Самоиндукция подобна инерции в механическом движении.
Поток вектора магнитной индукции Y, посылаемый током I через свой собственный контур, равен
Y= LI,
где L – коэффициент самоиндукции – индуктивность произвольного замкнутого контура.
Величина индуктивности L определяется геометрией контура, числом витков N, магнитными свойствами окружающей среды.
В частности, для соленоида с магнитным сердечником
,
где m – магнитная проницаемость сердечника; N, l, V – полное число витков, длина и объем соленоида.
Таким образом, ЭДС самоиндукции равна
.
Если индуктивность контура постоянна, то ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока в цепи
За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока 1 Авозникает связанный с ним магнитный поток Y, равный 1 Вб. Эту единицу называют Генри (Гн)
[ L ](Гн)×[ I ](А) = [Y](Вб).
Энергия магнитного поля.
Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружён магнитным полем, причём магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.
Рассмотрим контур с индуктивностью L, по которому течёт ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток Ф = LI, причём при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = LdI. Но для изменения потока на величину dФ необходимо совершить работу dА = IdФ = LIdI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна
.
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,
.
Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве.
Рассмотрим частный случай – однородное магнитное поле внутри длинного соленоида.
Подставив в формулу выражение индуктивности соленоида 
(индуктивность зависит от числа витков соленоида, его длины l площади S и магнитной проницаемости 
вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида), получим
.
Зная, что для соленоида 
, откуда 
, и учитывая, что 
, получим
,
где 
– объём соленоида.
Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него. Поэтому энергия заключена и в объёме соленоида и распределена в нём с постоянной объёмной плотностью
.
Данная формула выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Формула справедлива только для сред, где зависимость B от H линейная, т.е. для пара- и диамагнетиков.
Незатухающие колебания.
При отсутствии в цепи омического сопротивления (R = 0) и генератора e. процесс изменения заряда со временем в колебательном контуре описывается уравнением
Домножив это на 
и введя обозначение, (w0 - циклическая частота) можно привести его к виду:
 |
Решение этого уравнения, описывающего колебания заряда в LC- контуре, имеет вид
q = q 0 cos(w0t + j).
Постоянные q 0 и jопределяются начальными условиями, например значениями тока и заряда при t = 0.
Полученное соотношение описывает и движение груза на пружине (r и F(t) равны нулю)
 |
если сопоставить q ® x, L ® m, 1/C ® k,,
x = x 0 cos(w0 t + j).
Возникновение колебаний в контуре, состоящем из емкости С и индуктивности L, связано с периодическим превращением энергии электрического поля, сосредоточенного между обкладками конденсатора 
, в энергию магнитного поля 
и обратно благодаря наличию инерционного элемента – индуктивности.
Первоначально локализованный на обкладках конденсатора заряд начинает разряжаться через катушку индуктивности.
Благодаря явлению самоиндукции ток в цепи нарастает постепенно до тех пор, пока вся энергия конденсатора не превратится в энергию магнитного поля.
В этот момент заряд на обкладках конденсатора станет равным нулю, а ток в катушке индуктивности достигнет максимума.
Далее ток, не изменяя направления, начнет убывать, но в силу явления электромагнитной индукции ток не сразу упадет до нуля, а будет спадать постепенно.
При этом нижняя пластина конденсатора будет постепенно заряжаться положительно, а верхняя отрицательно.
Возникающее электрическое поле будет тормозить движение зарядов, и постепенно ток в цепи упадет до нуля.
В этот момент заряд на обкладках конденсатора и энергия электрического поля достигнут максимума, а энергия магнитного поля вновь станет равной нулю.
Но заряд на обкладках конденсатора уже сменил знак. К этому времени завершится первый полупериод в колебательном контуре.
Во время второго полупериода ток течет в обратном направлении, увеличивая энергию магнитного поля, как только ток достигнет максимума, начнется новая перезарядка конденсатора.
Эти процессы перезарядки можно сопоставить с колебаниями маятника, где максимальное отклонение тела от положения равновесия соответствует максимальному заряду конденсатора, а максимальная кинетическая энергия маятника в нижней точке траектории аналогична полному переходу энергии конденсатора в энергию магнитного поля - максимальному току в цепи.
В колебательном контуре без активного сопротивления сумма энергий электрического и магнитного полей, запасенных в конденсаторе и катушке индуктивности, остается постоянной.
Свободные незатухающие колебания совершаются системой по закону синуса или косинуса - называются гармоническими колебаниями.
Система возвращается в исходное состояние через минимальное время Т 0 - период колебаний
q (t + T 0) = q (t).
Для гармонических колебаний
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний
 |
- собственная или резонансная частота колебательного контура.
Единицей измерения частоты колебаний служит Герц [Гц]=1/[с].
Частоте в один герц соответствует частота, при которой за секунду происходит одно полное колебание.
Величина q 0 называется амплитудой, а (w0 t + j) - фазой колебаний, постоянная j - начальная фаза колебаний.
Затухающие колебания.
Колебательный контур всегда обладает сопротивлением R, если подводящие провода и катушка индуктивности собраны не из сверхпроводящих материалов.
Проходя по такой цепи, ток выделяет джоулево тепло и расходует энергию, первоначально запасенную в колебательной системе.
Колебания в такой системе описываются уравнением, аналогичным незатухающим, но с добавлением слагаемого, описывающего потери энергии на сопротивлении RI:
По мере рассеяния энергии амплитуда колебаний затухает.
В этом случае решение уравнения естественно выбрать с амплитудой, убывающей со временем:
q (t) = eb- t a (t)
Разделим уравнение на L и введем обозначения:
2b º R / L,
w02 º 1/ СL,
b- коэффициент затухания.
Уравнение преобразуется к виду
Подставив в него 
, придем к уравнению для переменной a (t):
Если величина w2 = w02 - b2 > 0, то решение уравнения совпадает с ранее найденным для незатухающих колебаний:
a (t) = q 0 cos(w t + j).
Величина заряда на обкладках конденсатора описывается зависимостью
q (t) = q 0 e-b t cos(w t + j).
Функция q (t) не периодична в смысле q (t) = q (t + T), но она периодически обращается в нуль через равные промежутки времени Т /2 = p/w.
Величину Т = 2p/w называют периодом затухающих колебаний в смысле периодического обращения заряда в нуль
Сопротивление цепи понижает частоту колебаний в контуре и увеличивает период колебаний тем сильнее, чем больше отношение
Множитель q 0e-b t называется амплитудой затухающих колебаний.
Амплитуда колебаний при наличии сопротивления экспоненциально убывает со временем.
Если сопротивление цепи так велико, что, то процесс изменения заряда в цепи не будет колебательным,
а станет апериодическим.
Логарифмический декремент затухания. Добротность.
Затухание колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания l.
Он равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, отличающихся по времени измерения на период
Здесь a (t) - амплитуда колебаний изучаемой величины, например q, I, U и пр.
Время t, по истечении которого амплитуда колебаний убывает в е раз, называется временем затухания:
За время t система совершит N полных колебаний, где
Таким образом, логарифмический декремент затухания связан с числом колебаний N, приводящим к уменьшению амплитуды в ераз соотношением
 |  | ||
Подставляя в выражение для l значения и, получаем
 | |||
 | |||
Если затухание в системе невелико, то.
Важнейшей характеристикой колебательного контура является добротность Q, величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту:
Чем выше добротность, тем большее число колебаний успеет совершить система, прежде чем амплитуда колебаний уменьшится в е (2,71826) раз. При слабом затухании
Добротность тем выше, чем меньше относительные потери энергии в контуре за период.
