Найбільше і найменше значення функції.

Amp; Тема 5. Дослідження функцій та побудова графіків

Лекція 5.1.

План

1. Екстремуми. Найбільше та найменше значення.

2. Застосування похідної для дослідження функції та побудови графіка.

3. Еластичність функції, застосування в економічних моделях.

1. Екстремуми. Найбільше та найменше значення

Монотонність функції.

Теорема 1. (достатні умови строгої монотонності). Якщо функція диференційована на інтервалі і () всюди, крім, можливо, скінченного числа точок, в яких на , то функція зростає (спадає) на .

Теорема без доведення.

 

Зауваження. Коли () на інтервалі , то функція на цьому інтервалі не спадає (не зростає).

 

Теорема 2. (необхідна умова зростання). Якщо диференційована на інтервалі зростає, то на інтервалі .

Теорема без доведення.

 

Інтервали монотонності можуть відділятися один від одного або точками, де похідна дорівнює нулеві (ці точки називають стаціонарними точками), або точками, де похідна не існує. Точки, в яких похідна дорівнює нулеві, або не існує, називаються критичними точками, або критичними точками першого роду.

Щоб знайти інтервали монотонності функції , необхідно:

1) знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну даної функції.

3) Знайти критичні точки з рівняння та з умови, що не існує.

4) Розділити критичними точками область визначення на інтервали і у кожному з них визначити знак похідної. На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від’ємна – спадає.

 

Локальний екстремум функції. Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , якщо існує такий окіл точки , який належить області визначення функції, і для всіх з цього околу виконується нерівність (або ).

Точки локального максимуму і локального мінімуму називаються точками локального екстремуму, а значення функції в цих точках називаються відповідно локальним максимумом і локальним мінімумом або локальним екстремумом.

Теорема 1. (необхідна умова локального екстремуму). Якщо функція має в точці локальний екстремум і диференційована в цій точці, то .

Теорема без доведення.

Повну необхідну умову локального екстремуму можна сформулювати так: якщо функція має в точці локальний екстремум, то ця точка є критичною. Обернене твердження невірне.

Точки локального екстремуму можуть бути серед точок, в яких , і серед точок, в яких не існує.

Інколи критичні точки називають точками можливого екстремуму.

 

Теорема 2. (перша достатня умова локального екстремуму). Нехай - критична точка функції , яка в цій точці неперервна, і нехай існує окіл точки , в якому функція має похідну , крім, можливо, точки , тоді:

1) якщо в інтервалі похідна , а в інтервалі похідна , то є точкою локального максимуму функції ;

2) якщо в інтервалі похідна , а в інтервалі похідна , то є точкою локального мінімуму функції ;

3) якщо в обох інтервалах і похідна має той самий знак, то не є екстремальною точкою функції .

Теорема без доведення.

Щоб знайти локальні екстремуми функції необхідно:

1) знайти критичні точки функції . Для цього необхідно розв’язати рівняння і серед його розв’язків вибрати тільки ті дійсні корені, які є внутрішніми точками області існування функції; знайти точки, в яких похідна не існує;

2) якщо критичних точок функція не має, то вона не має і екстремумів. Якщо критичні точки є, то треба дослідити знак похідної в кожному з інтервалів, на які розбивається область існування цими критичними точками. Для цього достатньо визначити знак похідної в якій-небудь одній точці інтервалу, оскільки похідна може змінити знак лише при переході через критичну точку;

3) за зміною знака при переході через критичні точки зліва направо визначити точки максимумів та мінімумів і обчислити значення функції в цих точках.

 

Теорема 3. (друга достатня умова локального екстремуму). Нехай - стаціонарна точка функції , тобто , і в околі точки існує друга неперервна похідна, причому . Якщо , то - точка локального мінімуму; якщо , то - точка локального максимуму.

Теорема без доведення.

 

Теорема 4. (третя достатня умова локального екстремуму). Нехай в околі стаціонарної точки існує неперервна похідна , причому ,

.

Тоді:

1) якщо - парне і , то має в локальний максимуму;

2) якщо - парне і , то має в локальний мінімум;

3) якщо - непарне, то в локального екстремуму не має.

Теорема без доведення.

Найбільше і найменше значення функції.

Нехай функція неперервна на відрізку . Така функція досягає своїх найбільшого і найменшого значень, які називають абсолютними екстремумами функції на цьому відрізку і позначають відповідно , .

Для точки , де функція досягає свого найбільшого або найменшого значень, можливі лише три випадки: 1) ; 2) ; 3) Якщо , то точку потрібно шукати серед критичних точок даної функції.

Щоб знайти найбільше (найменше) значення функції , яка неперервна на відрізку , необхідно:

1) знайти критичні точки функції , які належать інтервалу ;

2) обчислити значення функції у знайдених критичних точках і точках а і b і серед цих значень вибрати найбільше (найменше).