Описание установки и метода. 1.Определить собственные частоты колебаний струны при различных натяжениях.

Цель работы

1.Определить собственные частоты колебаний струны при различных натяжениях.

2. Исследовать зависимость скорости распространения поперечных колебаний от натяжения струны.

3. Определить длину стоячей волны в воздушном столбе.

 

Теоретическое введение

 

Стоячая волна возникает в результате наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях, при этом вторая волна может возникнуть при отражении первой волны от преграды.

Уравнения бегущей и отраженной волн, распространяющихся вдоль оси ОХ, можно записать следующим образом:

 

S ₁ = A cos (ω t-kx), S ₂ = A cos (ω t+kx+φ),

 

где S ₁ и S ₂ – смещение точек среды, имеющих координату х, в момент времени t; ω – циклическая частота колебаний (ω = 2π/ Т, где Т – период колебаний); А – амплитуда колебаний; k – волновое число (k = 2π/λ, где λ– длина волны); φ – изменение фазы волны при отражении.

При наложении волн выражение для смещения точки в стоячей волне будет иметь вид:

S = S ₁+ S ₂ = B cos (ω t+ φ/2), (1)

 

где В – амплитуда стоячей волны:

 

B = 2 A cos (kx+ φ/2). (2)

 

Из выражения (2) следует, что амплитуда стоячей волны является периодической функцией координаты и не зависит от времени.

Если все точки среды в бегущей волне совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, то все точки среды в стоячей волне колеблются одновременно, но с различными амплитудами. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами стоячей волны, а точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой B _max=2 A, - пучностями.

Рассмотрим случай отражения волны от среды с большим волновым сопротивлением (от более плотной среды). При этом фаза волны при отражении изменяется на противоположную (φ = -π). Этот случай называется отражением с потерей полуволны.

Подставив φ = -π в выражения (1) и (2), получим:

 

S = B sin ω t, (3)

где

B = 2 A sin kx. (4)

Найдем координаты узлов стоячей волны. Для этого в уравнении (4) положим В = 0. Тогда sin kx = 0, откуда следует, что kx = mπ, где m = 0, 1, 2 …, и

 

x _уз = mπ/k = m λ/2 = 2 mּ (λ/4). (5)

 

Координаты пучностей найдем из условия: B = B _max= ± 2 A. Знак “- “ означает, что фаза колебаний при переходе через узел изменяется на противоположную. Таким образом, для пучностей sin kx = ± 1, следовательно kx = (2 m + 1)π/2. Определим из этого уравнения координаты пучностей:

 

x _пучн= (2 m + 1)π/(2 k) = (2 m + 1) ּ (λ/4). (6)

 

Аналогичные рассуждения для случая отражения волны от менее плотной среды (φ = 0) показывают, что при отражении без потери полуволны узлы и пучности поменяются местами по сравнению с рассмотренным случаем φ = -π. Легко показать, что расстояние между двумя соседними узлами или пучностями равно λ/2, а расстояние между соседними узлом и пучностью равно λ/4.

Стоячие волны возникают при колебаниях струн, стержней, воздушных столбов, мембран и т.п.

 

ЧАСТЬ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

 

Рассмотрим струну длины L, концы которой закреплены. Обозначим скорость распространения изгибных волн в струне V. При возбуждении колебаний на струне установится стоячая волна. При этом на концах будут находиться узлы, а между ними – одна или несколько пучностей. Так как расстояние между узлами равно λ/2, то на длине струны должно уложиться целое число полуволн (L = m λ/2), то есть на струне могут возникать только такие стоячие волны, у которых длина волны λ =2 L / m (m = 1, 2, 3 …). Используя формулу связи длины волны с частотой колебаний и скоростью распространения волны λ = V/ ν, получим формулу для определения собственных частот колебаний струны:

 

ν = V /λ = mV/ (2 L). (7)

 

Мы приходим к выводу, что в системе, на которую наложены определенные граничные условия, возможны лишь определенные дискретные значения частот собственных колебаний.

Скорость распространения поперечных колебаний в струне определяется формулой:

(8)

где F, d, ρ – сила натяжения, диаметр и плотность материала струны соответственно. Подставляя значение скорости в формулу (7), получим выражение для собственных частот колебаний струны:

где m = 1, 2, 3 … (9)

Наименьшая собственная частота ν₁ (m = 1) называется основной частотой или основным тоном. Более высокие частоты, кратные ν₁, называются обертонами или гармониками.

На рис.1 представлены стоячие волны, частоты которых соответствуют основному тону (m = 1) – рис.1а, первому обертону (m = 2) – рис.1б, второму обертону (m = 3) – рис.1в.

 

 

 

 

 

В любой момент времени профиль стоячей волны представляет собой синусоиду. В случае струны форма кривых на рисунках будет такой же, как и действительная форма изгибов струны при колебаниях, так как волны в данном случае являются поперечными.

 

Описание установки и метода

В работе собственные колебания струны исследуются методом резонанса. Явление резонанса заключается в следующем: если частота периодической вынуждающей силы, приложенной к малому участку струны, равна одной из собственных частот колебаний струны, то амплитуда колебаний резко возрастает.

В установке струна натянута горизонтально, причем предусмотрена возможность изменить и измерить силу натяжения струны. С помощью генератора электрических колебаний в струне создается переменнный ток, частоту которого можно менять. Один из участков струны находится в поле постоянного магнита. Со стороны магнитного поля на этот участок действует сила Ампера, направленная перпендикулярно струне. Частота изменения силы Ампера равна частоте переменного тока в струне. Когда эта частота совпадает с одной из собственных частот колебаний, в струне возникает резонанс.

 

Порядок выполнения работы

1. Включить установку.

2. Измерить и записать значения длины струны L, ее диаметра d и плотности материала струны ρ (указана на стенде).

3. Для 3-5 значений натяжения струны F (по указанию преподавателя) методом резонанса определить значения собственных частот ν_m (3-5 частот, начиная с ν₁ , для каждого значения F). Значения F иν_n занести в таблицу 1. Зарисовать также форму собственных колебаний для каждой частоты.