Лабораторна робота №3-17
ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ В ПОСЛІДОВНОМУ
КОЛИВАЛЬНОМУ КОНТУРІ
Мета роботи: експериментальне дослідження частотної залежності напруги на конденсаторі при вимушених коливаннях у послідовному коливальному контурі. Визначення резонансної частоти, смуги пропускання та добротності контура.
Теоретичні відомості
Вимушені коливання в послідовному контурі. Коливання, що відбуваються внаслідок періодичного зовнішнього впливу на будь-яку фізичну систему, називаються вимушеними. Особливий інтерес являють вимушені коливання осциляторів, тобто, систем, у яких можливі вільні коливання. Прикладом електромагнітного осцилятора є послідовний коливальний контур, - електричне коло, що складається з котушки індуктивності L, конденсатора ємності С і резистора з опором R. Для створення вимушених коливань у контур включають джерело (генератор) змінної ЕРС E(t). У даній роботі досліджується послідовний контур, схема якого показана на (рис. 1). Під дією генератора в контурі виникають і підтримуються вимушені електромагнітні коливання, тобто, періодичні зміни напруги на елементах контура та струму в ньому.
Рис. 1.
Найпростішим і найважливішим у теорії видом коливань є гармонічні вимушені коливання, що створюються генератором з ЕРС
(1)
За законом Ома для ділянки кола квазістаціонарного електричного струму (струму, величина якого в даний момент однакова у всіх елементах кола) можна записати:
, (2)
де UC = 
- різниця потенціалів (напруга) на обкладках конденсатора, UR = ІR - напруга на опорі R, Es = - L (d І /d t) - ЕРС самоіндукції в котушці, 
- ЕРС генератора (1), внутрішній опір якого вважається малим у порівнянні з R.
Виразимо величини UC та І через заряд конденсатора q: UC = q / C, І = d q /d t, тоді 
= - L (d2 І /d t 2). Зробивши такі підстановки в (2), і, поділивши на L, одержимо диференціальне рівняння вимушених електричних коливань у контурі:
,
або
(3),
де 
- власна частота контура, тобто, частота вільних коливань у цьому контурі за умови R = 0, і b = R /2 L - коефіцієнт загасання контура.
Рівняння (3) являє собою неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. З математики відомо, що його загальний розв’язок складається із загального розв’язку qo (t) відповідного однорідного рівняння та будь-якого частинного розв’язку q (t) повного рівняння. Однорідна частина (3) має вигляд
і відповідає вільним загасаючим коливанням у контурі, амплітуда яких змінюється за законом А (t) = q0e-bt ([1], § 12.2, або [2], § 11.2.). Такі коливання виникають у момент включення генератора й відіграють суттєву роль тільки протягом невеликого проміжку часу ~ 1/ b, після якого в контурі встановлюються стаціонарні гармонічні коливання з частотою генератора w і сталою амплітудою. Тому частинний розв’язок рівняння (3), що відповідає незагасаючим вимушеним коливанням заряду конденсатора контура можна подати у вигляді:
, (4)
де q 0 - амплітуда, а j 0 - зсув фаз між коливаннями заряду конденсатора та ЕРС генератора.
Після підстановки (4) у (3) можна отримати ([1], § 12.3, або [2], § 11.3.) такі вирази q 0 і j 0:
, (5)
. (6)
На практиці режим контура визначають не зарядом конденсатора, а напругою на різних елементах і силою струму в контурі. Зокрема, з урахуванням (4), рівняння вимушених коливань напруги на конденсаторі UС = q / C має вигляд:
,
де амплітуда напруги
(7)
Продиференціювавши (4) по t, знайдемо рівняння вимушених коливань сили струму I = d q /d t у контурі:
, (8)
де амплітуда струму І 0 і зсув фаз j між вимушеними коливаннями струму та ЕРС генератора визначаються виразами:
, (9)
. (10)
Амплітудні характеристики контура. Резонанс. Характерною особливістю вимушених коливань є залежність (причому не монотонна) їх амплітуди від частоти, що випливає з виразів (7) і (9), які називаються амплітудними характеристиками контура. Справді, якщо частоту w поступово збільшувати, починаючи з нуля, то величина w о2 - w 2 у знаменнику цих виразів спочатку зменшується, потім проходить через 0 і далі необмежено зростає. Відповідно, амплітуда вимушених коливань спочатку зростає, потім сягає максимуму, й далі асимптотично прямує до нуля. Отже, в коливальному контурі можливий резонанс - зростання амплітуди вимушених коливань до максимальної величини при наближенні частоти коливань до певного значення w рез, яке називають резонансною частотою.
Резонансну частоту напруги на конденсаторі wu можна знайти, дослідивши вираз (7) на екстремум. Для цього в (7) треба продиференціювати по w підкорінний вираз і прирівняти похідну до нуля. Результат виходить такий:
. (11)
Отже, резонансна частота напруги на конденсаторі менша, ніж власна частота контура, причому, тим менша, чим більше загасання b. Аналогічно, диференціюванням по w виразу (9), знаходиться резонансна частота сили струму wі, яка виявляється рівною власній частоті контура:
. (12)
З огляду на явище резонансу, амплітудні характеристики, зокрема, UС0 = UС 0(w) та І 0 = І 0(w), інакше називають резонансними характеристиками, а їх графіки - резонансними кривими. На рис.2 показано вид резонансних кривих напруги на конденсаторі контура для трьох різних значень загасання, а на рис.3 - аналогічні резонансні криві сили струму в послідовному контурі.
Рис.2
Рис.3
Характерно, що резонансні криві тим вужчі й вищі (тим гостріший резонанс), чим менше загасання контура. Це цілком природньо, оскільки при зменшенні загасання зменшуються втрати енергії коливань.
Існує зв’язок між резонансними кривими й іншою характеристикою контура - його добротністю Q (про добротність див. [1], § 11.2.). При слабкому загасанні (b << w0) добротність виражається через параметри контура формулою
Q = 
. (13)
Якщо в (7) замість w підставити значення (11), то вийде такий вираз для резонансної амплітуди напруги Uт на конденсаторі:
.
При слабкому загасанні величина b 2 під коренем є нехтовною, і 
= 
. Отже, добротність контура
. (13а)
Таким чином, на конденсаторі послідовного контура відбувається підсилення напруги, а добротність виступає в якості коефіцієнта підсилення. На цьому базується вся техніка приймання радіосигналів. У кожному радіоприймачі є вхідні контури, в яких можна на свій розсуд установлювати резонансну частоту і, тим самим, різко підсилювати сигнал тільки від обраної станції (налаштовуватися на дану станцію).
Якщо в (9) замість w підставити вираз (12), отримаємо резонансну амплітуду струму Іт:
. (14)
З параметрів резонансної кривої струму теж можна визначити добротність контура Q при слабкому загасанні. Можна показати, що в цьому випадку вона визначається, як
. (15)
Величина D w = w 2 - w 1 називається шириною резонансної кривої або смугою пропускання контура; частоти w 1 і w 2 відповідають амплітуді струму І 0 = 
, рис. 3.(резонансна крива, на якій відмічено рівень і частóти w 1 і w 2) При такій амплітуді струму на опорі R виділяється половина резонансної потужності.
Опис лабораторної установки
Для вивчення вимушених коливань у контурі використовується установка, зображена на Рис.4
Рис. 4
За допомогою цієї установки можна вивчити залежність напруги на конденсаторі C (перемикач К1 у положенні 2) або на опорах R 1 - R 3 (перемикач К1 у положенні 1) від частоти w зовнішнього генератора. Вимірювання напруги діючої здійснюється за допомогою цифрового вольтметра V. Активний опір контура можна змінювати за допомогою резисторів R 1 - R 3 та перемикачів К2 - К4.
Порядок виконання роботи
1. Увімкнути звуковий генератор в мережу. Встановити на виході генератора напругу 10 В.
2. Установити перемикач К1 в положення 2, К2 у положення 1, К3 у положення 2 і К4 у положення 2. (При цьому в контур буде увімкнений опір R 1). Змінюючи частоту генератора f, знайти резонансну частоту fи, при якій напруга на конденсаторі буде максимальною Uс 0 = Uст . Значення fи та Uст занести до табл. 1.
3. Зменшуючи й збільшуючи частоту генератора в обидва боки від резонансної частоти (узяти 8-10 значень), виміряти амплітуди напруги Uс0 Значення f і Uс 0 занести до табл. 1.
Табл. 1
| R 1 | fи | |||||||||
| Uс0 | ||||||||||
| R 2 | fи | |||||||||
| Uс0 | ||||||||||
| R 3 | fи | |||||||||
| Uс0 |
4. Перевести перемикач К1 у положення 1. (При цьому вольтметр V буде показувати напругу на опорі контура). Змінюючи частоту генератора, знайти резонансну частоту fі, при якій напруга на резисторі R 1 буде максимальною. Обчислити амплітуду напруги URт на резисторі R 1 при резонансній частоті fі. Значення R 1, fі та URт занести до табл. 2.
5. Зменшуючи і збільшуючи частоту генератора в обидва боки від резонансної частоти (взяти 8-10 значень частоти), обчислити амплітуди напруги UR0 Значення fi та UR0 занести до табл. 2. Для кожного значення UR0 знайти амплітуду струму І0 = UR0 / R і занести результат у табл. 2.
Tабл. 2.
| R 1 | fi | |||||||||
| UR0 | ||||||||||
| І0 | ||||||||||
| R 2 | fi | |||||||||
| UR0 | ||||||||||
| І0 | ||||||||||
| R3 | fi | |||||||||
| UR0 | ||||||||||
| І0 |
6. Виміри п.п. 2 - 5 повторити при опорі контура R 2 та R 3. Вибір опорів здійснити за допомогою перемикачів К2 – К4.
