Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку – систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками.

Для наглядности рассмотрим дифракционную решетку, состоящую из двух щелей: BC и DЕ (рис. 26.6). Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина d = a + b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления j одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:

(26.6)

Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т.е. прежние (главные) минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (26.7)

(26.7)

Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т.е. возникнут дополнительные минимумы. Очевидно, что эти дополнительные минимумы будут наблюдаться в тех направлениях, которым соответствуют разность хода лучей , посылаемых, например, от крайних левых точек B и D обеих щелей. Таким образом, с учетом (26.7) условие дополнительных минимумов:

. (26.8)

Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если

(26.9)

т.е. направлениям (26.9) соответствуют так называемые главные максимумы.

Таким образом, полная дифракционная картина для двух щелей определяется из условий:

- главные минимумы а sin j = l, 2 l, 3 l,...,

- дополнительные минимумы d sin j =

- главные максимумы d sin j = 0, l, 2 l, 3 l,...,

т.е. между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум.

Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными максимумами при трех щелях располагаются два дополнительных минимума, при четырех щелях – три и т. д.

Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных минимумов является условие (26.7), условием главных максимумов – условие (26.9), а условием дополнительных минимумов:

(26.10)

где может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2 N,..., т.е. кроме тех, при которых условие (26.10) переходит в условие (26.9). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается (N – 1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими весьма слабый фон.

Примеры решения задач

Задача 1. Интенсивность, создаваемая на экране некоторой монохроматической световой волной, в отсутствие преград равна . Какова будет интенсивность J в центре дифракционной картины, если на пути волны поставить преграду с круглым отверстием, открывающим: 1) одну зону Френеля; 2) две зоны Френеля; 3) сто зон Френеля?

Дано:

J ₁ -? J ₂ -? J ₃ -?

Рис. 26.7

Решение

Интенсивность света, попадающего в данную точку экрана М, пропорциональна квадрату суммарной амплитуды всех световых волн, попадающих в данную точку, т.е. ~ . Для вычисления амплитуды А применяется метод зон Френеля (стр. 231 - 232). Разность хода лучей, приходящих в точку М от двух соседних зон, по условию построения зон равна , т.е. волны от соседних зон попарно друг друга гасят, так как в одну точку эти волны приходят в противоположных фазах. Тогда

где - амплитуда колебаний т- й зоны. При этом

Сумма членов такого ряда равна

Если фронт волны открыт полностью (нет преграды), то ® 0, следовательно

а интенсивность

1. Если открыта одна зона Френеля, то амплитуда в точке М равна . Тогда интенсивность J ~ , отношение

Интенсивность света, прошедшего через круглое отверстие, в четыре раза больше, чем интенсивность от открытого фронта. Произошло усиление интенсивности.

2. Открыты две зоны Френеля. Найдем амплитуду колебаний, прошедших через такое отверстие:

Так как мало отличается от (зоны расположены рядом), то в точке М получится ослабление интенсивности, т.е. В точке М будет темное пятно.

3. Отверстие оставляет открытыми сто зон. Тогда

но ,

следовательно, амплитуда уменьшится незначительно, , т.е. она будет почти такой же, как .

В случае двух зон темнота в точке М будет гуще, чем в случае ста зон.

Ответ: наибольшая интенсивность в точке М будет , когда открыта одна зона Френеля; Интенсивность , так как две соседние зоны друг друга гасят, , интенсивность будет уменьшена, но темнота неполная.

Задача 2. Тонкая металлическая пластинка имеет отверстие диаметром d = 4 мм и освещается светом с длиной волны l = 5 ^.10 ^–7 м. Экран расположен на расстоянии м от пластины. Темное или светлое пятно наблюдается в центре экрана?

Дано:

d = 4 мм = 4 ^. 10^-3 м

l = 5 ^. 10 ^–7м

= 1 м

т -?

Рис. 26.8

Решение

Построим зоны Френеля. Пусть - радиус нулевой зоны Френеля, а - радиус последней зоны Френеля, укладывающейся в отверстии:

, (1)

где т – число зон Френеля.

Из прямоугольного треугольника АВМ можно определить

. (2)

Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем

Величиной можно пренебречь как величиной второго порядка малости; - квадрат радиуса отверстия.

Тогда

Число зон

(3)

Вычисления:

зон.

Ответ: число зон, укладывающихся в отверстии, четное, следовательно, в центре экрана наблюдается минимум освещенности (темное пятно).

Анализ решения: из выражения (3) видно, что число зон, укладывающихся в отверстии, зависит от расстояния данного отверстия до экрана. При увеличении расстояния число зон уменьшается. Увеличивая расстояние , можно получить т = 7 зон в отверстии; получится светлое пятно в центре. Если дальше увеличивать расстояние можно получить 6 зон (min), 5 зон (max), т.е. при увеличении расстояния в центре экрана чередуются светлое и темное пятна. Последнее четное число зон равно двум, следовательно, если еще увеличивать расстояние, то зоны погасить друг друга полностью не смогут. При т = 2 в центре будет последний раз темное пятно. При дальнейшем увеличении т = 1 (свет), т = - тоже свет и т. д.

Задача 3. На узкую щель нормально падает монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующий второй светлой дифракционной полосе j = 1⁰. скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?

Дано:

j = 1⁰

т = 2 (max)

Рис. 26.9

Построим зоны Френеля. Пусть а – ширина щели, b – ширина зоны. Для этого выберем из всех лучей, прошедших через щель и отклоненных вследствие дифракции (огибания) от прямолинейного распространения, лучи, идущие параллельно друг другу под углом j к первоначальному направлению. Лучи от соседних зон должны иметь разность хода (рис. 26.9). Тогда соседние зоны попарно друг друга гасят. Если число зон нечетное, то одна зона остается непогашенной и в точке экрана эта зона даст свет, т.е. получится максимум освещенности. Обозначим число зон, укладывающихся в щели , где а – ширина щели, b – ширина зоны. Из малого треугольника (прямоугольного), один катет равен , гипотенуза равна b, получим

Тогда

. (1)

Если число зон нечетное, т.е. Z = (2 т + 1), т = 0, 1, 2, 3..., то лучи, идущие под углом j, дадут максимум освещенности, что и требуется по условию задачи.

Условие max от одной щели:

. (2)

Решение

; т = 2 (вторая светлая полоса);

;

Ответ: а = 143 l, т.е. ширина щели равна 143 длинам волн.

Задача 4. На щель шириной 2 ^. 10^–3 см падает нормально параллельный пучок лучей с длиной волны l = 5 ^. 10^–5см. Найти ширину изображения щели на экране, удаленном от нее на расстояние L = 1 м. Шириной изображения считать расстояние между двумя первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от центрального максимума.

Дано:

а = 2 ^. 10^–3 см = 2 ^. 10 ^–5 м

l = 5 ^. 10^–7 м

L = 1 м

х -?

Решение

Согласно принципу Гюйгенса, лучи после прохождения щели отклоняются в разные стороны под разными углами. Лучи эти когерентны, так как принадлежат одному фронту волны, следовательно, они интерферируют и дают перераспределение энергии падающей волны в пространстве. Метод зон позволяет рассчитать дифракционную картину.

- условие максимума.

Если т = 0, то в данной точке получится нулевой максимум (т – порядок максимума). Число зон при этом равно 1. Этот максимум будет в центре картины.

, т = ±1, ±2, ±3... условие минимума освещенности.

Если т = 1, то в щели укладывается две зоны и получается первый минимум.

Картина будет состоять из чередующихся светлых и темных полос со светлой полосой в центре. Ширина изображения (рис. 26.10) обозначена х. Из треугольника АВС найдем :

L – расстояние от щели до экрана, j - угол отклонения лучей, дающих первый минимум.

Условие min: (число зон четное).

Тогда

Так как угол j мал (L = 1 м, а = 2 ^. 10^–5 м), то sin j» tg j:

Вычислим

м.

Ответ: ширина изображения щели на экране х = 5 ^. 10 ^–2 м.

Задача 5. На щель шириной 2 мкм нормально падает параллельный пучок света с длиной волны 5,89^.10^–7 м. Найти углы, в направлении которых наблюдаются минимумы света.

Дано:

а = 2 мкм = 2 ^. 10^–6 м

l = 5,89 ^. 10 ^–7 м

-? -?...?

Каждому значению т, начиная с т = 1, соответствуют минимум освещенности и определенное значение угла j, под которым идут лучи, дающие этот минимум.

Наибольшее возможное значение угла равно так как больше, чем на 90⁰, лучи от первоначального направления отклониться не могут. Следовательно, , - наибольший порядок минимума (номер минимума по порядку, считая от центра картины). Он является целым числом, следовательно, = 3. Четвертый минимум наблюдаться не будет. Найдем углы отклонения лучей , и :

Ответ: φ ₁ = 17,12^о; φ ₂ = 36^о; φ ₃ = 62^о.

Задача 6. На щель шириной а = 0,1 мм падает монохроматический свет (l = 0,5 мкм). Что видит наблюдатель, если он смотрит в направлении, образующем с нормалью угол = ; ?

Дано: Решение

l = 0,5 мкм = 5 ^. 10^–7 м

а = 0,1 мм = 10^–4 м

-? -?

где а – ширина щели, b – ширина зоны Френеля (см. рис. 26.9). Из рисунка видно, что ( - разность хода лучей от соседних зон).

Тогда

(четное число зон укладывается при угле , следовательно полоса будет темная – min).

(полоса будет светлой, так как одна зона останется непогашенной).

Ответ: = 2 (наблюдатель увидит темную полосу); = 5 (наблюдатель увидит светлую полосу).

Дифракционная решетка

Задача 7. Сколько штрихов на один миллиметр содержит дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (l = 5, 46 ^. 10^–7 м) в спектре первого порядка наблюдается под углом ?

Дано:

l = 5, 46 ^. 10^–7 м

т = 1

j =

Рис. 26.11

Периодом дифракционной решетки называется величина, равная сумме ширины щели и ширины непрозрачного промежутка между соседними щелями: d = a + b. Число штрихов (непрозрачных промежутков) равно .

Лучи, идущие от соответствующих точек соседних щелей (рис. 26.11), называются соответственными и находятся друг от друга на расстоянии d. Эти лучи являются когерентными и при наложении интерферируют. Соответственные лучи дадут максимум (усилят друг друга), если разность хода этих лучей D = т l, целому числу длин волн. Тогда лучи придут в одну точку в одинаковых фазах и усилят друг друга. Из треугольника АВС

Тогда условие главного максимума дифракционной решетки

где т = 0, ±1, ±2,..., ± т – порядок максимума (номер максимума, считая от центра картины).

Решение

Тогда

Ответ: п = 600 .

Задача 8. Дифракционная решетка содержит 200 штрихов на 1мм. Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка (l = 6 ^. 10^–7 м)?

Дано:

п = 200 = 2 ^. 10⁵

l = 6 ^. 10^–7 м

т_пред -?

Решение

Условие максимума для дифракционной решетки

где т = 0, ±1, ±2, ±3... ±¥ - порядок дифракционного максимума, j - угол отклонения соответственных лучей. Наибольший угол, на который могут отклониться лучи при прохождении через дифракционную решетку равен 90⁰.

Тогда

;

Ответ: наибольший порядок максимума равен 8.

Задача 9. Определить длину волны линии в дифракционном спектре 2-го порядка, совпадающей с линией спектра третьего порядка (l ₂ = 400 нм).

Дано: Решение

= 400 нм

Поэтому белый свет после прохождения решетки даст спектр в каждом порядке (длины волн видимой части спектра от 400 нм до 800 нм). При этом возможно наложение спектров друг на друга в разных порядках (линии разных порядков видны под одним углом) (, ).