Уравнения Максвелла для электромагнитного поля.

Тема 5. Основы теории электромагнитного поля Дж.К.Максвелла

Лекция 34.

Вихревое электрическое поле.

Ток смещения.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля.

Вихревое электрическое поле.

Осмысливая закон М.Фарадея, английский лорд Дж.К.Максвелл высказал гипотезу о том, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле.

Итак, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле Е_B, циркуляция которого будет равна

(1)

Подставив в формулу (1) выражение , получим, что

Операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами.

(2)

Примечание. Символ частной производной подчеркивает тот факт, что является функцией многих переменных (не только от времени!).

Как известно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля – E_Q вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

(3)

Сравнивая выражения (1) и (3), видим, что между рассматриваемыми полями (E_B и Е_Q) имеется принципиальное различие, которое состоит в том, что циркуляция вектора E_B в отличие от циркуляции вектора E_Q не равна нулю.

Следовательно, электрическое поле E_B, возбуждаемое магнитным полем, как и собственно само магнитное поле, является вихревым.

Ток смещения.

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение, так называемый, ток смещения.

Что это такое, можно пояснить, рассматривая цепь переменного тока с конденсатором.

По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах.

Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I) и смещения (I_см) равны: I_см =I.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора – это

(1)

Поверхностная плотность заряда – s на обкладках равна электрическому смещению – D в конденсаторе.

Подынтегральное выражение в (1) можно рассматривать как частный случай скалярного произведения вектров когда эти векторы взаимно параллельны (поскольку умножаются только модули, то косинус угла между ними равен 1!).

Поэтому для общего случая можно записать

Сравнивая это выражение с , имеем, что (2)

Выражение (2) и было названо Максвеллом плотностью тока смещения.

Подчеркнем, что из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Ток смещения по своей физической сути — это изменяющееся со временем электрическое поле. Поэтому он существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости.

Далее, Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения. Его плотность равна

(3)

Введя понятия тока смещения и полного тока, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению замкнутости цепей переменного тока.

«Полный ток в них всегда замкнут, т. е. на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости».

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора Н (закон полного тока!), введя в ее правую часть полный ток сквозь поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L.

Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора Н запишется в виде

(4)

Выражение (4) справедливо всегда, свидетельством чего является полное соответствие теории и опыта.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля.

Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля.

В основе его теории лежат рассмотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (Е_Q), так и вихревым (Е_B), поэтому напряженность суммарного поля Е = Е_Q + Е_B. Так как циркуляция вектора Е_Q равна нулю, а циркуляция вектора Е_B определяется выражением (2) предыдущего раздела, то циркуляция вектора напряженности суммарного поля будет равна:

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D:

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, то теорема Гаусса для поля вектора электрического смещения запишется в виде

Это уравнение показывает, что электрические поля могут возбуждаться статическими зарядами.

4. Теорема Гаусса для поля В:

Это уравнение показывает, что магнитные поля не могут возбуждаться НИКАКИМИ статическими зарядами.

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме имеет вид:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (так называемые материальные соотношения!):

где e₀ и m₀ — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g — удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что

· источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля,

· магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (E=const и B=const) уравнения Максвелла примут вид:

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного — только токи проводимости.

В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

При решении прикладных задач электродинамики уравнения Максвелла, дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред.

Они были рассмотрены раньше:

Уравнения Максвелла играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике.

Развитая теория позволила Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью.

В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля в вакууме равна скорости света с = 3×10⁸ м/с.

В целом, на современном уровне развития науки теория Максвелла и принцип относительности Эйнштейна привели к созданию единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.