Определение скорости полета пули с помощью баллистического крутильного маятника

 

Цель работы: применение законов сохранения энергии и момента импульса для определения скорости полета пули с помощью баллистического крутильного маятника.

 

Общий вид баллистического маятника FPM-09 показан на рис.1 (а, б). На плите маятника 1 имеется колонка 3, на которой закреплены три кронштейна. На кронштейне 4 находится стреляющее устройство 5, а также прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой 6. Верхний и нижний кронштейны 8 и 9 имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки 10, на которой подвешена крестовина с двумя передвигающимися грузами 12 и мишенью 11.Колебания маятника регистрируются фотоэлементом 7. На лицевой панели прибора 13 размещены кнопки управления секундомером: "сеть", "сброс" и "стоп". Пуля, выпущенная из пружинной пушки 5, попадает в

мишень 11 и застревает в пластилине. В результате неупругого столкновения маятник с пулей повернется на некоторый максимальный угол j_m.

Стальная нить, на которой подвешен маятник, упруго закручивается. В результате возникает возвращающий момент сил упругости M, который определяется по закону Гука:

M = - f×j, (1)

здесь j- угол закручивания; f - модуль кручения, постоянная для данной проволоки величина.

Если маятник предоставить самому себе, то он будет колебаться. Так как колебания осуществляются в форме вращательного движения, то описывать движение маятника можно с помощью основного уравнения динамики вращательного движения:

M = I×e =I× , (2)

где I - момент инерции системы "маятник - пуля"; e =d²j/dt² -угловое ускорение.

Объединяя формулы (1) и (2), получим дифференциальное уравнение, описывающее колебания маятника без учета момента сил трения:

(3)

Уравнение (3) по форме совпадает с уравнением движения пружинного маятника.

, (4)

где w₀ - собственная частота колебаний пружинного маятника.

По аналогии находим, что циклическая частота w₀ свободных колебаний пружинного маятника равна

(5)

Пуля, обладающая импульсом m×V (m, V - масса и скорость пули соответственно), не упруго ударяет в маятник на расстоянии r от оси вращения. При этом она сообщает ему момент импульса m×V×r. Согласно закону сохранения момента импульса:

m×V×r = I×w, (6)

где I×w- момент импульса системы "маятник - пуля";

×w - начальная угловая скорость крутильного маятника, которую он приобрел в результате удара пули.

Полученная кинетическая энергия вращательного движения маятника Е_{к вр.} = I×w²/2 переходит в потенциальную энергию закрученной нити, равную Е_{п вр.} = f×j_m²/2, где j_m - максимальный угол закручивания маятника.

Маятник с пулей представляет собой консервативную систему. В этом случае должен выполняться закон сохранения механической энергии:

(7)

Момент инерции системы I складывается из момента инерции маятника без грузов I₀, момента инерции двух грузов 2MR², которые рассматриваются как материальные точки (R - расстояния от оси вращения до центра масс грузов, M - масса груза) и момента инерции пули, которым можно пренебречь ввиду его малости:

I = I₀ + 2MR² (8)

Начальную угловую скорость маятника найдем из уравнения (6)
w = m×V×r/I. Подставив ее в (7) и используя (5), получим:

(9)

Таким образом, измеряя период колебаний T, максимальный угол отклонения j_m, и зная момент инерции I системы, можно найти скорость полета пули.

Рассмотрим два положения грузов в маятнике, которым соответствуют два момента инерции системы:

I₁ = I₀ + 2×M×R₁²

(10)

I₂ = I₀ + 2×M×R₂².

Так как момент инерции маятника без грузов I₀ неизвестен, то его можно исключить, для этого вычтем из первого уравнения второе.

DI = I₁-I₂= 2×M× (R₁² - R₂²) (11)

Модуль кручения данной проволоки величина постоянная и согласно (5) равная: .

Тогда

(12)

Из (11) и (12) имеем:

(13)

Подставив выражения для I из (13) в (9), найдем скорость полета пули V:

(14)