Коэффициент прозрачности широкого и узкого потенциальных барьеров

Для нас представляет интерес в первую очередь коэффициент прохождения D, который есть отношение

где - скорость частицы. Она одинакова для всех частиц в областях I и III.

Приведем окончательную формулу для коэффициента прохождения через барьер прямоугольной формы

Эта формула показывает, во-первых, что коэффициент прохождения не равен нулю, во-вторых, его величина очень сильно зависит от ширины барьера a.

Согласно полученной формуле, коэффициент прозрачности барьера экспоненциально убывает с ростом его ширины и ростом разности "высоты" барьера U₀ и энергии частицы Е. Так что частицы, обладающие энергией, которая существенно ниже "высоты" барьера, практически не имеют шансов пройти за барьер. Вероятность туннелирования также мала для частиц с большой массой.

Этот результат означает, что квантовая частица может проходить через любые препятствия, даже если на каком-то участке "траектории" полная энергия частицы оказывается меньше потенциальной (рис.3). Известно, что классическая частица не может находиться в тех точках, где Е <U (х), поэтому в ситуации, показанной на рис.3, все классические частицы отразились бы в точке х=0. Напротив, квантовая частица, не получая никакой дополнительной энергии, может проникнуть сквозь препятствие (образно говоря, проходит по туннелю). Коэффициент прозрачности при этом сильно зависит как от "ширины", так и от "высоты" препятствия U (х).

Проникновение квантовых частиц из одной области (х < 0) в другую (х > a) через классически запретную область (0<х<a), в которой полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии, называется туннельным эффектом. Этот эффект хорошо заметен, если ширина запретной области (барьера) достаточно мала: порядка глубины проникновения частицы под порог той же высоты.

Коэффициент прозрачности дельта-барьера

Дельта-барьером (d-барьером) называется предел потенциала (1) при U₀®µ, a®0, причем произведение "высоты" барьера на его "ширину" остается постоянным: aU = const. Очевидно, при таком предельном переходе прямоугольный потенциальный барьер (1) превращается в бесконечно высокий и, одновременно, бесконечно узкий барьер. При этом произведение a s² имеет конечный предел, который обозначим через C и назовем " параметром барьера ":

.

В этом предельном случае коэффициент прозрачности определяется следующим выражением:

.

Прозрачность d-барьера увеличивается и стремится к 1 с ростом энергии частиц или уменьшением параметра барьера C. Таким образом, даже очень высокие барьеры могут быть прозрачны, если, либо они достаточно узкие (мал параметр C), либо высока энергия частиц Е.

Перечислим (без доказательства) аналитические свойства амплитудной волновой функции вблизи барьера:

1. волновая функция непрерывна при х =0: Y(+ 0)= Y(– 0),

2. производная волновой функции терпит разрыв при х =0: Y’(+0) – Y’(– 0)= C Y(0), причем величина скачка производной прямо пропорциональна параметру барьера.