Кафедра
УТВЕРЖДАЮ
Заведующая кафедрой
Е.Рябоконь
«»_________2013 г.
ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине «Ф И З И К А»
Д-0302-1
Раздел № 5. Основы квантовой физики
Тема № 20. Элементы квантовой механики
Занятие № 85. Рассеяние квантовой частицы на потенциальном барьере
| Обсуждено на заседании предметно-методической комиссии Протокол №______ от «____» _______________2013г. |
Санкт-Петербург
I. Учебные цели
Научить использовать уравнение Шредингера для расчета коэффициентов прозрачности.
II. Воспитательные цели
Воспитывать диалектико-материалистическое мировоззрение; привычку к строгому логическому мышлению.
III. Расчет учебного времени
| Содержание и порядок проведения занятия | Время, мин |
| ВСТУПИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ Учебные вопросы 1. Движение микрочастицы через потенциальный барьер. Классическое рассмотрение. 2. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального барьера при Е<П. 3. Коэффициент прозрачности широкого и узкого потенциальных барьеров. 4. Туннельный эффект и его применение в электронных элементах техники связи. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ |
IV. Литература
1. Савельев И.В. «Курс общей физики», книга 5, М., Астрель АСТ, 2004 с. 85-90;
2. Исмагилов Р. Г. «Квантовая физика», часть 1, С-Пб, СПВВИУС, 1998 с. 65-76
3. Савельев, И. В.Курс общей физики. В 5 кн. Кн.5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учебное пособие для втузов Издательство: Астрель, АСТ, 2004 г.
4. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб.пособие для студ. учреждений высш. проф. образования — 19-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2012. — 560 с.
5. Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. — Т. 3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учебное пособие. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2012. — 368 с.
V. Учебно-материальное обеспечение
1. Конспект лекций курсантов
2. Ноутбук
3. Интерактивная доска
VI. Текст лекции
Введение
На предыдущем занятии было получено решение уравнения Шредингера для частного случая квантовой частицы в области потенциального порога и проанализировано полученное решение. На данном занятии рассмотрим поведение квантовой частицы близи потенциального барьера и сравним полученные результаты с движением классической частицы.
Учебные вопросы
Движение микрочастицы через потенциальный барьер. Классическое рассмотрение
Потенциальным барьером называют область пространств, в которой потенциальная энергия больше, чем в окружающих областях пространства.
Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 1) высоты U0и ширины a
(1)
Рис.1
Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U0 и ширины a (рис.1). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера Е>U0, частица беспрепятственно проходит над барьером (на участке 0< х<a лишь уменьшается скорость частицы, но затем при х > a снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше U0 (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может. Поэтому эту область часто называют классически запрещенной.
2. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального барьера при Е<П
Рассмотрим ситуацию, когда E < U 0. Классическая частица, подходя к барьеру, высота которого больше ее полной энергии, отражается от него. Пройти через такой барьер, т.е. через область, в которой ее кинетическая энергия стала бы отрицательной, она не может.
Рассмотрим квантовомеханическое решение. Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок). Напишем уравнение Шредингера отдельно для областей (I), (III) (где потенциальные энергии одинаковы, U 0 = 0) и для области (II) и найдем решения в обоих случаях, т.е. функции Ψ1, 3 и Ψ2. На границе при x = 0 в силу непрерывности волновой функции и ее производной приравняем Ψ1 и Ψ2 и их первые производные. Проделаем то же при x = a для функций Ψ2 и Ψ3. Это позволит найти необходимые коэффициенты.
Итак, пишем уравнения Шредингера:
для областей (I, III)
,
для области (II)
,
где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначения
.
Уравнения приобретают вид
.
Общие решения уравнений таковы:
. (2)
где A1,3 , A2 , B1,3 , B2 — произвольные комплексные коэффициенты.
Заметим, что слагаемое 
неограниченно растет при 
. Такой рост несовместим с требованием нормируемости волновой функции, поэтому следует положить
B2 = 0.
Из формул (2) видно, что в областях (I, III) это бегущие плоские волны, а в области (II)- затухающая волна.
Отличие рассматриваемой задачи от изученной в лекции "Рассеяние квантовых частиц на потенциальном пороге" состоит в том, что здесь отражение имеет место как на границе областей (I) и (II), так на границе (II) и (III). Поскольку в области (III) потенциал постоянен, отражения нет, и коэффициент B3 = 0.
Волновая функция отлична от нуля во всех трех областях. Внутри барьера она экспоненциально затухает, поэтому вероятность прохождения значительно меньше единицы. Это прохождение сквозь запрещенную классической механикой область и называют "туннельным эффектом".
Рис.2
