Движение микрочастицы через потенциальный барьер. Классическое рассмотрение

Кафедра

УТВЕРЖДАЮ

Заведующая кафедрой

Е.Рябоконь

«»_________2013 г.

 

 

ЛЕКЦИЯ

по учебной дисциплине «Ф И З И К А»

Д-0302-1

 

Раздел № 5. Основы квантовой физики

 

Тема № 20. Элементы квантовой механики

 

Занятие № 85. Рассеяние квантовой частицы на потенциальном барьере

 

Обсуждено на заседании предметно-методической комиссии Протокол №______ от «____» _______________2013г.

 

 

Санкт-Петербург

I. Учебные цели

Научить использовать уравнение Шредингера для расчета коэффициентов прозрачности.

 

II. Воспитательные цели

Воспитывать диалектико-материалистическое мировоззрение; привычку к строгому логическому мышлению.

 

III. Расчет учебного времени

Содержание и порядок проведения занятия	Время, мин
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ Учебные вопросы 1. Движение микрочастицы через потенциальный барьер. Классическое рассмотрение. 2. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального барьера при Е<П. 3. Коэффициент прозрачности широкого и узкого потенциальных барьеров. 4. Туннельный эффект и его применение в электронных элементах техники связи. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

 

IV. Литература

 

1. Савельев И.В. «Курс общей физики», книга 5, М., Астрель АСТ, 2004 с. 85-90;

2. Исмагилов Р. Г. «Квантовая физика», часть 1, С-Пб, СПВВИУС, 1998 с. 65-76

3. Савельев, И. В.Курс общей физики. В 5 кн. Кн.5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учебное пособие для втузов Издательство: Астрель, АСТ, 2004 г.

4. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб.пособие для студ. учреждений высш. проф. образования — 19-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2012. — 560 с.

5. Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. — Т. 3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учебное пособие. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2012. — 368 с.

 

V. Учебно-материальное обеспечение

1. Конспект лекций курсантов

2. Ноутбук

3. Интерактивная доска

VI. Текст лекции

Введение

На предыдущем занятии было получено решение уравнения Шредингера для частного случая квантовой частицы в области потенциального порога и проанализировано полученное решение. На данном занятии рассмотрим поведение квантовой частицы близи потенциального барьера и сравним полученные результаты с движением классической частицы.

 

 

Учебные вопросы

 

Движение микрочастицы через потенциальный барьер. Классическое рассмотрение

Потенциальным барьером называют область пространств, в которой потенциальная энергия больше, чем в окружающих областях пространства.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 1) высоты U₀и ширины a

(1)

 

Рис.1

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U₀ и ширины a (рис.1). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера Е>U₀, частица беспрепятственно проходит над барьером (на участке 0< х<a лишь уменьшается скорость частицы, но затем при х > a снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше U₀ (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может. Поэтому эту область часто называют классически запрещенной.

 

2. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального барьера при Е<П

Рассмотрим ситуацию, когда E < U ₀. Классическая частица, подходя к барьеру, высота которого больше ее полной энергии, отражается от него. Пройти через такой барьер, т.е. через область, в которой ее кинетическая энергия стала бы отрицательной, она не может.

Рассмотрим квантовомеханическое решение. Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок). Напишем уравнение Шредингера отдельно для областей (I), (III) (где потенциальные энергии одинаковы, U ₀ = 0) и для области (II) и найдем решения в обоих случаях, т.е. функции Ψ_{1, 3} и Ψ₂. На границе при x = 0 в силу непрерывности волновой функции и ее производной приравняем Ψ₁ и Ψ₂ и их первые производные. Проделаем то же при x = a для функций Ψ₂ и Ψ₃. Это позволит найти необходимые коэффициенты.

Итак, пишем уравнения Шредингера:

для областей (I, III)

,

для области (II)

,

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначения

.

Уравнения приобретают вид

.

Общие решения уравнений таковы:

. (2)

где A_1,3 , A₂ , B_1,3 , B₂ — произвольные комплексные коэффициенты.

Заметим, что слагаемое неограниченно растет при . Такой рост несовместим с требованием нормируемости волновой функции, поэтому следует положить

B₂ = 0.

Из формул (2) видно, что в областях (I, III) это бегущие плоские волны, а в области (II)- затухающая волна.

Отличие рассматриваемой задачи от изученной в лекции "Рассеяние квантовых частиц на потенциальном пороге" состоит в том, что здесь отражение имеет место как на границе областей (I) и (II), так на границе (II) и (III). Поскольку в области (III) потенциал постоянен, отражения нет, и коэффициент B₃ = 0.

Волновая функция отлична от нуля во всех трех областях. Внутри барьера она экспоненциально затухает, поэтому вероятность прохождения значительно меньше единицы. Это прохождение сквозь запрещенную классической механикой область и называют "туннельным эффектом".

 

 

Рис.2