Коэффициенты отражения и прозрачности

Коэффициентом отражения R называется отношение количества частиц, отраженных от порога () за время dt, к количеству частиц, налетающих на порог () за то же время dt:

.

Коэффициентом прозрачности D называется отношение количества частиц, прошедших через порог () за время dt, к количеству частиц, налетающих на порог () за то же время dt:

.

Так как частица может либо отразиться от порога, либо пройти через него, то

(13)

 

Коэффициенты R и D имеют смысл вероятности отражения частиц от порога и вероятности прохождения частицы через порог. Вычислим эти коэффициенты. Для этого сначала их выразим через амплитуды A₁, B₁, A₂.

Как известно, каждая из волн де Бройля в (9) описывает не одну частицу, а однородный поток частиц. Концентрация частиц при этом равна квадрату модуля амплитуды волны де Бройля. Количество налетающих, отраженных и прошедших за время dt частиц пропорционально, во-первых, концентрации частиц (то есть квадрату модуля амплитуды соответствующей волны), и, во-вторых, расстоянию , которое частица проходит за время dt (рис.2):

, , ,

где , - скорости частиц в областях 1, 2. Скорости можно выразить через импульсы , , а затем и через волновые числа , (7):

, .

По определению коэффициентов R, D имеем:

(14)

Подставив сюда формулы (12), найдем

(15)

Выразив k1, k2 через энергию (7), окончательно получим

 

Выводы

1. Квантовая частица, имея энергию Е, превосходящую высоту порога (Е >P_o), может пройти за порог с вероятностью D < 1, а может и отразиться от порога с вероятностью R > 0.

2. Вероятность отражения растет при увеличении высоты порога P_o и падает с ростом энергии частицы E. Так как R + D = 1, то вероятность прохождения через порог ведет себя обратным образом.

3. Обсудим теперь поведение волновой функции и плотности вероятности обнаружения частицы вблизи порога. Заметим, что вследствие соотношений (12) волновая функция теперь содержит только один неопределенный коэффициент – A₁. Его можно было бы найти из условия нормировки. Нам его значение не важно, поэтому для простоты положим A₁ =1. Тогда

Вычислим

Согласно полученным формулам строим графики (рис.3).

Рис.3

 

Волновая функция как в области 1, так и в области 2 имеет осциллирующий характер. Но длина волны при переходе в область 2 возрастает, поскольку волновое число k = p/ћ = 2 p / l уменьшается согласно формуле (7).

Плотность вероятности обнаружения частицы w =½Y½² не зависит от x в области 2. Здесь имеется только прошедшая волна.

Осцилляции квадрата модуля волновой функции при x < 0 имеют длину волны, равную l/2. Они возникают вследствие наложения падающей и отраженной волн. Эти волны распространяются в противоположных направлениях и имеют одинаковые длины волн, поэтому в области 1 образуется стоячая волна.

Функцию Y₁(x) можно записать в виде

Первое слагаемое здесь соответствует стоячей волне, а второе — бегущей. В пучностях стоячей волны плотность вероятности обнаружения частицы максимальна, а в узлах — минимальна.

 

4. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального порога при Е<П

С точки зрения классической механики в этом случае (E <P_o) проникновение частиц из области 1 в область 2 невозможно. Согласно формуле (2), импульс частицы в области 2 принимает чисто мнимые значения. Поэтому в классической механике область, в которой полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии, запретна: частицы не могут туда проникнуть. Таким образом, если энергия классической частицы меньше высоты порога, то вероятность перехода в область 2 равна нулю, все частицы отражаются от порога и остаются в области 1.

Рассмотрим теперь случай E <P_o с точки зрения квантовой механики. Для этого вернемся к уравнениям (4) и введем вещественные величины

(16)

Тогда уравнения (4) примут вид

Получим их общие решения:

(17)

где A₁ , A₂ , B₁ , B₂ — произвольные комплексные коэффициенты.

Заметим, что слагаемое неограниченно растет при . Такой рост несовместим с требованием нормируемости волновой функции, поэтому следует положить

B₂ = 0. (18)

Коэффициенты A₁ ,B₁ имеют по-прежнему смысл амплитуд падающей и отраженной волн. Но прошедшей волны теперь нет. Действительно, при подстановке (17), (18) в (3) найдем

Такая волновая функция не имеет вида волны де Бройля, и, следовательно, в области 2 нет однородного потока свободно движущихся частиц.

Найдем ограничения на значения коэффициентов A₁ , A₂ , B₁, вытекающие из условий непрерывности (5). Вычислим производные

(19)

Подставим (17), (18), (19) в (5) и получим уравнения, связывающие коэффициенты

A₁ + B₁ = A₂, ik₁ (A₁ - B₁)= - s A₂.

Используя эти равенства, выразим A₂ , B₁ через A₁:

(20)

По формуле (14) легко находим коэффициент отражения

Для определения коэффициента прозрачности D формулой (14) воспользоваться нельзя: прошедшей волны нет, но можно использовать соотношение (13):

D = 1 - R = 0.

Таким образом, как и в классической механике, при E <P_o частица отражается от порога с вероятностью, равной единице. Тем не менее, различия между поведением классической и квантовой частицы в этом случае даже более впечатляющи, чем в случае E> P_o. Действительно, хотя количество отраженных от порога частиц равно количеству налетающих на порог частиц за то же время, но часть частиц все же проникает в запретную, с точки зрения классической механики, область, где E < P_o. (Это следует из того, что волновая функция в области x > 0 отлична от нуля.) Поэтому и вероятность обнаружения частицы в этой области тоже конечна.

Рис.4

 

Обсудим этот эффект более подробно. Для этого рассмотрим графики ReY(x) и úY(x)ú² на рис.4, но предварительно упростим выражения для коэффициентов и произведем некоторые вычисления.

Дробь (ik ₁+s)/(ik ₁–s) по модулю равна единице, поэтому существует вещественное число d из интервала [–p,p] такое, что

.

Коэффициент во второй из формул (20) также можно выразить через параметр d:

Теперь формулы (20) можно записать в виде

Поскольку значение коэффициента A₁ для нас опять не важно, то положим для простоты . Тогда имеем

Используя эти формулы, вычисляем:

,

(Наш выбор удобен, поскольку обеспечивает вещественность волновой функции: ImY₁= ImY₂=0).

Согласно полученным формулам, строим графики (рис.4).

При x< 0 волновая функция осциллирует, а при x>0 экспоненциально убывает, стремясь к нулю при x®¥. Плотность вероятности обнаружения частицы при x>0 тоже экспоненциально убывает по мере возрастания координаты x, но, заметим, отлична от нуля. Расстояние, на котором плотность вероятности обнаружения частицы убывает в "e" раз называется глубиной проникновения частицы в запретную, с точки зрения классической механики, область 2. Из полученных формул (21) следует очевидное соотношение для глубины проникновения d:

. (22)

При x< 0 квадрат модуля волновой функции осциллирует, меняясь от нуля до некоторого максимального значения. Длина волны этих осцилляций вдвое меньше длины волны де Бройля. Как и в случае Е>P_o, колебания квадрата модуля волновой функции возникают вследствие наложения двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Теперь (при Е<P_o) амплитуды этих волн равны: , поэтому образуется только стоячая волна. В узлах стоячей волны плотность вероятности обнаружения частицы равна нулю.

Спрашивается: как же частица может быть обнаружена в области x>0, где ее импульс принимает чисто мнимые значения? Какие значения импульса и энергии будут зафиксированы при измерениях? Уточним постановку задачи: требуется исследовать распределение вероятности обнаружения частиц в области порога. Но тогда координаты частиц должны определяться с погрешностью D x, не превосходящей глубину проникновения: D x<d. Подобная точность — очень мягкое требование, поскольку на данном расстоянии плотность вероятности уменьшается уже в "e" раз. При таком измерении, соглано принципу неопределенности Гейзенберга, импульс частицы неконтролируемым образом меняется. Среднее значение полученного частицей импульса

.

Тогда изменение энергии частицы DЕ можно оценить как

.

Таким образом, в результате взаимодействия частицы с прибором ее энергия становится больше высоты порога, а ее импульс вещественным. Поэтому нет противоречия между возможностью обнаружения частицы в области порога и мнимостью импульса классической частицы в этой области. При обнаружении квантовой частицы у нее будет зафиксирован вещественный импульс.

 

 

Выводы

Квантовая частица, налетев на порог высоты P_o и имея энергию Е<P_o, отражается от него с вероятностью R = 1 (как и в классической механике). Но при этом квантовая частица (в отличие от классической) может проникнуть в область, где Е < P_o. Глубина проникновения в классически запретную область d, согласно (22), растет с увеличением энергии частицы и понижается в ростом высоты потенциального порога. Глубина проникновения обратно пропорциональна корню из массы частицы. Поэтому для тяжелых частиц значения d ничтожны, и для таких частиц оказываются справедливы выводы классической механики.

 

Заключение

На данном занятии рассмотрели поведение квантовой частицы в области потенциального порога при Е>П и Е<П и сравнили полученные результаты с движением классической частицы. Научились использовать уравнение Шредингера для расчета коэффициентов прозрачности.

 

 

Разработал ст. преподаватель кафедры

кандидат физ.-мат. наук Долматова О.А.

 

 

Рецензировал доцент кафедры

кандидат физ.-мат. наук Исмагилов Р.Г.