Коэффициентом отражения R называется отношение количества частиц, отраженных от порога (
) за время dt, к количеству частиц, налетающих на порог (
) за то же время dt:
.
Коэффициентом прозрачности D называется отношение количества частиц, прошедших через порог (
) за время dt, к количеству частиц, налетающих на порог () за то же время dt:
.
Так как частица может либо отразиться от порога, либо пройти через него, то
(13)
Коэффициенты R и D имеют смысл вероятности отражения частиц от порога и вероятности прохождения частицы через порог. Вычислим эти коэффициенты. Для этого сначала их выразим через амплитуды A1, B1, A2.
|
Как известно, каждая из волн де Бройля в (9) описывает не одну частицу, а однородный поток частиц. Концентрация частиц при этом равна квадрату модуля амплитуды волны де Бройля. Количество налетающих, отраженных и прошедших за время dt частиц пропорционально, во-первых, концентрации частиц (то есть квадрату модуля амплитуды соответствующей волны), и, во-вторых, расстоянию 
, которое частица проходит за время dt (рис.2):
, 
, 
,
где 
, 
- скорости частиц в областях 1, 2. Скорости можно выразить через импульсы 
, 
, а затем и через волновые числа 
, 
(7):
, 
.
По определению коэффициентов R, D имеем:
(14)
Подставив сюда формулы (12), найдем
(15)
Выразив k1, k2 через энергию (7), окончательно получим
Выводы
1. Квантовая частица, имея энергию Е, превосходящую высоту порога (Е >Po), может пройти за порог с вероятностью D < 1, а может и отразиться от порога с вероятностью R > 0.
2. Вероятность отражения растет при увеличении высоты порога Po и падает с ростом энергии частицы E. Так как R + D = 1, то вероятность прохождения через порог ведет себя обратным образом.
3. Обсудим теперь поведение волновой функции и плотности вероятности обнаружения частицы вблизи порога. Заметим, что вследствие соотношений (12) волновая функция теперь содержит только один неопределенный коэффициент – A1. Его можно было бы найти из условия нормировки. Нам его значение не важно, поэтому для простоты положим A1 =1. Тогда
Вычислим
Согласно полученным формулам строим графики (рис.3).
Рис.3
Волновая функция как в области 1, так и в области 2 имеет осциллирующий характер. Но длина волны при переходе в область 2 возрастает, поскольку волновое число k = p/ћ = 2 p / l уменьшается согласно формуле (7).
Плотность вероятности обнаружения частицы w =½Y½2 не зависит от x в области 2. Здесь имеется только прошедшая волна.
Осцилляции квадрата модуля волновой функции при x < 0 имеют длину волны, равную l/2. Они возникают вследствие наложения падающей и отраженной волн. Эти волны распространяются в противоположных направлениях и имеют одинаковые длины волн, поэтому в области 1 образуется стоячая волна.
Функцию Y1(x) можно записать в виде
Первое слагаемое здесь соответствует стоячей волне, а второе — бегущей. В пучностях стоячей волны плотность вероятности обнаружения частицы максимальна, а в узлах — минимальна.
4. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального порога при Е<П
С точки зрения классической механики в этом случае (E <Po) проникновение частиц из области 1 в область 2 невозможно. Согласно формуле (2), импульс частицы в области 2 принимает чисто мнимые значения. Поэтому в классической механике область, в которой полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии, запретна: частицы не могут туда проникнуть. Таким образом, если энергия классической частицы меньше высоты порога, то вероятность перехода в область 2 равна нулю, все частицы отражаются от порога и остаются в области 1.
Рассмотрим теперь случай E <Po с точки зрения квантовой механики. Для этого вернемся к уравнениям (4) и введем вещественные величины
(16)
Тогда уравнения (4) примут вид
Получим их общие решения:
(17)
где A1 , A2 , B1 , B2 — произвольные комплексные коэффициенты.
Заметим, что слагаемое 
неограниченно растет при 
. Такой рост несовместим с требованием нормируемости волновой функции, поэтому следует положить
B2 = 0. (18)
Коэффициенты A1 ,B1 имеют по-прежнему смысл амплитуд падающей и отраженной волн. Но прошедшей волны теперь нет. Действительно, при подстановке (17), (18) в (3) найдем
Такая волновая функция не имеет вида волны де Бройля, и, следовательно, в области 2 нет однородного потока свободно движущихся частиц.
Найдем ограничения на значения коэффициентов A1 , A2 , B1, вытекающие из условий непрерывности (5). Вычислим производные
(19)
Подставим (17), (18), (19) в (5) и получим уравнения, связывающие коэффициенты
A1 + B1 = A2, ik1 (A1 - B1)= - s A2.
Используя эти равенства, выразим A2 , B1 через A1:
(20)
По формуле (14) легко находим коэффициент отражения
Для определения коэффициента прозрачности D формулой (14) воспользоваться нельзя: прошедшей волны нет, но можно использовать соотношение (13):
D = 1 - R = 0.
Таким образом, как и в классической механике, при E <Po частица отражается от порога с вероятностью, равной единице. Тем не менее, различия между поведением классической и квантовой частицы в этом случае даже более впечатляющи, чем в случае E> Po. Действительно, хотя количество отраженных от порога частиц равно количеству налетающих на порог частиц за то же время, но часть частиц все же проникает в запретную, с точки зрения классической механики, область, где E < Po. (Это следует из того, что волновая функция в области x > 0 отлична от нуля.) Поэтому и вероятность обнаружения частицы в этой области тоже конечна.
Рис.4
Обсудим этот эффект более подробно. Для этого рассмотрим графики ReY(x) и úY(x)ú2 на рис.4, но предварительно упростим выражения для коэффициентов и произведем некоторые вычисления.
Дробь (ik 1+s)/(ik 1–s) по модулю равна единице, поэтому существует вещественное число d из интервала [–p,p] такое, что
.
Коэффициент во второй из формул (20) также можно выразить через параметр d:
Теперь формулы (20) можно записать в виде
Поскольку значение коэффициента A1 для нас опять не важно, то положим для простоты 
. Тогда имеем
Используя эти формулы, вычисляем:
,
(Наш выбор удобен, поскольку обеспечивает вещественность волновой функции: ImY1= ImY2=0).
Согласно полученным формулам, строим графики (рис.4).
При x< 0 волновая функция осциллирует, а при x>0 экспоненциально убывает, стремясь к нулю при x®¥. Плотность вероятности обнаружения частицы при x>0 тоже экспоненциально убывает по мере возрастания координаты x, но, заметим, отлична от нуля. Расстояние, на котором плотность вероятности обнаружения частицы убывает в "e" раз называется глубиной проникновения частицы в запретную, с точки зрения классической механики, область 2. Из полученных формул (21) следует очевидное соотношение для глубины проникновения d:
. (22)
При x< 0 квадрат модуля волновой функции осциллирует, меняясь от нуля до некоторого максимального значения. Длина волны этих осцилляций вдвое меньше длины волны де Бройля. Как и в случае Е>Po, колебания квадрата модуля волновой функции возникают вследствие наложения двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Теперь (при Е<Po) амплитуды этих волн равны: 
, поэтому образуется только стоячая волна. В узлах стоячей волны плотность вероятности обнаружения частицы равна нулю.
Спрашивается: как же частица может быть обнаружена в области x>0, где ее импульс принимает чисто мнимые значения? Какие значения импульса и энергии будут зафиксированы при измерениях? Уточним постановку задачи: требуется исследовать распределение вероятности обнаружения частиц в области порога. Но тогда координаты частиц должны определяться с погрешностью D x, не превосходящей глубину проникновения: D x<d. Подобная точность — очень мягкое требование, поскольку на данном расстоянии плотность вероятности уменьшается уже в "e" раз. При таком измерении, соглано принципу неопределенности Гейзенберга, импульс частицы неконтролируемым образом меняется. Среднее значение полученного частицей импульса
.
Тогда изменение энергии частицы DЕ можно оценить как
.
Таким образом, в результате взаимодействия частицы с прибором ее энергия становится больше высоты порога, а ее импульс вещественным. Поэтому нет противоречия между возможностью обнаружения частицы в области порога и мнимостью импульса классической частицы в этой области. При обнаружении квантовой частицы у нее будет зафиксирован вещественный импульс.
Выводы
Квантовая частица, налетев на порог высоты Po и имея энергию Е<Po, отражается от него с вероятностью R = 1 (как и в классической механике). Но при этом квантовая частица (в отличие от классической) может проникнуть в область, где Е < Po. Глубина проникновения в классически запретную область d, согласно (22), растет с увеличением энергии частицы и понижается в ростом высоты потенциального порога. Глубина проникновения обратно пропорциональна корню из массы частицы. Поэтому для тяжелых частиц значения d ничтожны, и для таких частиц оказываются справедливы выводы классической механики.
Заключение
На данном занятии рассмотрели поведение квантовой частицы в области потенциального порога при Е>П и Е<П и сравнили полученные результаты с движением классической частицы. Научились использовать уравнение Шредингера для расчета коэффициентов прозрачности.
Разработал ст. преподаватель кафедры
кандидат физ.-мат. наук Долматова О.А.
Рецензировал доцент кафедры
кандидат физ.-мат. наук Исмагилов Р.Г.
