Интерполирование функций.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Пусть для некоторой функции f (x), определённой на [ a, b ] вычислены (m +1) её значений в точках x 0, x 1, …, xm: f (x 0), f (x 1), f (xm) и требуется по этим значениям вычислить значение f (x) при некотором новом значении x. В этом состоит простейшая задача интерполирования. Обычно задачу понимают так: ищется многочлен L (x) наинизшей степени, который в заданных точках xi (k =0,1,…, m), называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f (xi), что и функция f (x), и приближённо полагают для любого x из [ a, b ] f (x)@ L (x).
Подобное приближённое равенство называется интерполяционной формулой. Итак, нужно прежде всего найти интерполяционную формулу, а затем при определённых предположениях относительно функции f (x) - оценить погрешность приближённой формулы.
Для отыскания многочлена L (x), удовлетворяющего условиям L (xi) = f (xi) (i =0,1,…, m), удобно ввести базисный многочлен m -й степени lk (x), k =0,1,…, m, который, соответственно индексу, принимает значение 1 при x = xk и обращается в 0 при x = xi, если i ¹ k.
Замечание 1. Индекс этого многочлена, в отличие от общепринятых обозначений многочленов, указывает не степень, а номер многочлена k.
Конкретизируем многочлен lk (x). Так как при при x = xi, если i ¹ k имеет место lk (x)=0, то его можно записать в виде:
так как при x = xk имеет место lk (x)=1, то подставляя в выражение lk (x) значения x = xk и приравнивая результат единице, получим:
В результате получим:
, (1)
а многочлен L (x)= 
вычисляется по формуле:
(2)
Тогда многочлен 
удовлетворяет всем из условий L (xi) = f (xi). Степень этого многочлена не выше m и значит условиями L (xi)= f (xi) он определяется однозначно; его называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а приближённое равенство f (x)@ L (x)- интерполяционной формулой Лагранжа.
Замечание. многочлен lk (x) можно записать более сжато, если ввести выражение w (x) = (x-x 0)(x-x 1) … (x-xm), обращающееся в 0 в узлах интерполирования x 0, x 1,…, xm.
Покажем это: 
(x ¹ x k)а
(xk-x 0) … (xk-xk -1)(xk-xk +1) … (xk-xm) = 
Таким образом, 
и 
. (3)
Дополнительный член формулы Лагранжа.
оценим разность f (x)- L (x), где x -любое фиксированное значение из отрезка [ a, b ], отличное от узлов интерполирования. Предположим, что функция f (z) на этом отрезке имеет производные всех порядков до (m +1)-го включительно. Какова бы ни была постоянная К, функция j (z)= f (z)- l (z)- Kw (z) тоже имеет (m +1) производных и к тому же обращается в 0 в узлах xi (i= 0,1,…, m). выберем постоянную K так, чтобы и при z = x было j (x)=0,т.е. положим
(1), (так как x ¹ xi,то w (x)¹0).
По теореме Ролля в (m+ 1) промежутках между m+ 2корнями x, x 0, x 1, …, xm функции j (z)найдётся m+ 1 различных корней её производной j' (z). Применяя снова теорему Ролля к функции j' (z) и к m промежуткам между её (m+ 1) корнями, установим существование m различных корней второй производной и так далее. Продолжая это рассуждение, на(m+ 1)-ом его шаге придём к существованию корня x (m+1) - й производной j ( m +1)(z), так что:
j ( m +1)(x)=0(a<x<b)(2).
Но L ( m +1)(z)º0 ибо степень многочлена L (z) не выше m, a w ( m +1)(z)º(m+ 1)! Учитывая определение вспомогательной функции j (z),имеем:
j ( m +1)(z) =f ( m +1)(z)- K (m+ 1)!
Так что из (1) получается, что 
. Окончательно получим:
(a<x<b) (3).
Это интерполяционная формула Лагранжа с дополнительным членом. В отличие от f (x)@ L (x) она является точной.
Замечание: Если на отрезке [ a, b ] 
то, так как на этом отрезке 
, получаем такую оценку для погрешности формулы f (x)@ L (x): 
.
