Поняття бінарного відношення між елементами однієї множини

Змістовний модуль № 1

самостійна робота студентів № 4 (19-20)

ТЕМА: Поняття бінарного відношення між елементами однієї множини

кількість годин: 2

 

студенти повинні знати:

– поняття відношення між елементами однієї множини;

– поняття графа;

– способи завдання відношень;

– властивості бінарних відношень;

– поняття оберненого і протилежного відношення;

– означення відношень еквівалентності і порядку;

– розбиття на класи еквівалентності.

 

студенти повинні вміти:

– записувати відношення між елементами однієї множини;

– будувати граф відношень;

– записувати різними способами;

– визначати властивості відношень;

– зображувати властивості відношень за допомогою графа, графіка;

– розбивати множину на класи еквівалентності;

– формулювати властивості відношень;

– розпізнавати відношення еквівалентності і порядку.

план

1. Поняття бінарного відношення між елементами однієї множини.
2. Граф і способи задання відношень.
3. Властивості бінарних відношень:

3.1. Рефлексивність.

3.2. Симетричність.

3.3. Антисиметричність.

3.4. Транзитивність.

4. Відношення еквівалентності.

5. Відношення порядку і його властивості.

Основна література

1. Кухар, В. М. Теоретичні основи початкового курсу математики [Текст]: навч. посібник для педучилищ / В. М. Кухар, Б. Л. Білий. – К.: Вища школа, 1987. – С. 133-143.
2. Левшин, М. М. Математика [Текст]: навч. посiбник для напряму пiдготовки 6.010102 «Початкова освiта» пед. навч. закладiв: у 3 ч. Ч. 1 / М. М. Левшин, Є. О. Лодатко; за заг. ред. Є. О. Лодатка. – Тернопiль: Навчальна книга – Богдан, 2012. – С. 60-74.
3. Основи початкового курсу математики [Текст]: навчально-методичний посібник / укл. Л. М. Голець, О. О. Кислякова, І. А. Ляшенко, О. Г. Онуфрієнко. – Запоріжжя, 2010. –

С. 29-43.

1. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст]: учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М.: Просвещение, 1988. – С. 98-111.

 

 

Інтернет-ресурси

1. Відношення [Електронний ресурс] // Вікіпедія: Вільна енциклопедія. – Режим доступу: http://uk.wikipedia.org/wiki/Відношення#.D0.91.D1.96.D0.BD.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.B5. – Назва з екрана.
2. Бінарні відношення [Електронний ресурс]: лекції // dok.znaimo.com.ua. – Режим доступу: http://dok.znaimo.com.ua/docs/index-306.html. – Назва з екрана.

Методичні рекомендації студенту

до самостійної роботи

 

Користуючись зазначеною літературою, ознайомтесь із поняттями «бінарне відношення», «граф» і способами його позначення. Ознайомтесь із поняттям «рефлективність», «симетричність», «антисиметричність», «транзитивність», їх зображеннями та поняттями «відношення еквівалентності», «відношення порядку», наведіть приклади.

Ознайомтеся з теоремою про відношення еквівалентності та її доведенням.

Обміркуйте та складіть план-конспект з питань, що виносяться на обговорення.

Виконайте вправи 1, 2, 3, 4, 5 з підручника Стойлова Л. П., Пишкало А. М. Основы начального курса математики на С. 100, вправи 1, 2, 5 на C. 102 і вправи 1, 3 на C. 106.

 

ЗАВДАННЯ І питання для самоперевірки

 

1. Що є бінарним відношенням між елементами однієї множини?
2. Як позначаються відношення?
3. Що називається графом відношення? Назвіть його елементи і позначення.
4. Наведіть приклад відношення і зобразіть за допомогою графа.
5. Які способи задання відношень?
6. Яке відношення називається рефлексивним? Зобразіть його граф.
7. Яке відношення є симетричним? Зобразіть його граф.
8. Яке відношення є антисиметричним?
9. Яке відношення є транзитивним? Зобразіть його граф.
10. Що називається відношенням еквівалентності?
11. Наведіть приклад відношення еквівалентності і зобразіть за допомогою графа.
12. Дайте визначення відношення порядку і назвіть його властивості.
13. Наведіть приклад відношення порядку і зобразіть за допомогою графа.

 

форма контролю

 

1. Фронтальне опитування (методом «Мікрофон»)
2. Перевірка зошитів

 

Матеріал для самостійного опрацювання з даної теми студентами

 

Поняття бінарного відношення між елементами однієї множини

У математиці вивчають не тільки самі об’єкти (числа, фігури, величини), але і зв’язки, відношення між ними. Так, умова поняття натурального числа – одного із ведучих понять початкової математики та математики взагалі – виконується завдяки вивченню різних взаємозв’язків між числами.

Н.: з’ясовується, що: число 5 більше числа 2, число 10 більше числа 8 на 2, число 7 наступне за числом 6, тобто числа пов’язані різними відношеннями «більше», «більше на», «наступний за» і т.д.

У геометрії вивчають паралельність та перпендикулярність прямих, рівність та подібність фігур, тобто різні відношення між геометричними об’єктами. Порівнюючи множини, ми говоримо, наприклад, що вони перетинаються чи рівні, чи одна є підмножиною іншої, тобто встановлюємо відношення між множинами.

У математиці частіше всього розглядаються відношення між двома об’єктами.

Означення. Відношення між двома об’єктами називають бінарними.

Розглянемо множину чисел Х={3, 4, 5, 6, 8}. Між числами цієї множини існує відношення «більше»: 4>3, 5>3, 6>3, 8>3, 5>4, 6>4, 8>4, 6>5, 8>5, 8>6.

Можливо розглянути для даних чисел і відношення «більше на 1»: «4 більше 3 на 1», «5 більше 4 на 1», «6 більше 5 на 1».

Числа даної множини зв’язані також відношенням «менше в 2 раз»: «3 менше 6 в 2 рази», «4 менше 8 в 2 рази».

Можливо вказати і інші відношення між числами 3, 4, 5, 6 та 8.

Звернемо увагу на наступне: розглядаючи те або інше відношення, ми кожний раз оперувались упорядкованими парами, утвореними із чисел даної множини.

Для відношення «більше» це була множина {(4,3), (5,3), (6,3), (8,3), (5,4), (6,4), (8,4), (6,5), (8,5), (8,6)}, для відношення «більше на 1» - {(4,3), (5,4), (6,5)}, а для відношення «менше на 2» - {(3,6), (4,8)}. Таким чином, можна сказати, що кожне із розглянутих відношень визначається множиною пар чисел, утворених із елементів множини Х={3, 4, 5, 6, 8}.

Означення. Упорядковані пари – це елементи декартового добутку множин або його підмножин. Неважко побачити, що ті множини пар, які визначають відношення «більше», «більше на 1», «менше в 2 рази», являються підмножинами декартового добутку Х´Х ={(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,8), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,8), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,8), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (6,8), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8,8)}.

Отже, кожне із розглянутих відношень визначається множиною пар, які в свою чергу являються підмножинами декартового добутку Х´Х.

Означення. Відношенням між елементами множини Х чи відношенням на множині Х називається всяка підмножина декартового добутку Х ´Х.

Відношення позначають прописними буквами латинського алфавіту: P, Q, R, S та інші. Виходячи з цього, якщо R – відношення між елементами множини Х, то RÌ Х´Х.

Граф і способи задання відношень

Відношення на скінчених множинах можна представити за допомогою особливих креслень, які складаються з точок, з’єднаних стрілками. Такі креслення називають графами.

Побудуємо, наприклад, граф відношення «більше» між елементами множини Х={2, 4, 6, 8, 12}. Для цього елементи даної множини зобразимо точками та з’єднаємо стрілками ті точки, які зображують числа, які знаходяться у відношенні «більше». Оскільки 4>2, то проводимо стрілку від 4 до 2, так як 6>4, то проводимо стрілку від 6 до 4 і т.д., поки не переберемо всі пари чисел, зв’язаних заданим відношенням. В результаті отримаємо граф відношення «більше» для елементів множини Х={2, 4, 6, 8, 12}.

Способи задання відношень

Якщо відношення R між елементами множини Х є всяка підмножина декартового добутку Х´Х, тобто множина, елементи якої являються впорядковані пари. Тому способи задання відношень, по суті, такі як і способи задання множин.

1. Відношення R на множині Х можна задати, перерахувавши всі пари елементів, взятих із множини Х та пов’язаних цим відношенням.

Форми запису при цьому можуть бути різноманітні. Н., деяке відношення R на множині Х={4, 5, 6, 7, 9} можливо задати, записавши множину пар: {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4), (9,5), (9,6), (9,7)}. Це саме відношення можна задати за допомогою графа, графіка, таблиці.

2. Частіше відношення R на множині Х задають, вказавши характеристичну властивість усіх пар елементів, які знаходяться у відношенні R. Ця властивість формулюється у вигляді речення з двома перемінними, хоча позначення перемінних інколи опускається.

Н.: серед відношень на множині N натуральних чисел ми вже називали такі: «число х більше числа у», «число х – дільник числа у», «число х менше числа у в 3 рази» і т.д.

В математиці багато речень з двома перемінними записують, використовуючи символи.

Н.: відношення «більше» для чисел може бути задане у вигляді нерівності х>у, а відношення «число х менше числа у в 3 рази» – у вигляді рівності у = 3х.

Властивості бінарних відношень: