Повторные независимые испытания
На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие 
. При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа 
появлений события в результате 
испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.
Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.
Формула Бернулли
Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события в 
–м испытании. Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие может либо появиться с вероятностью 
, либо не появиться с вероятностью 
. Рассмотрим событие 
, состоящее в том, что событие в этих испытаниях наступит ровно раз и, следовательно, не наступит ровно 
раз. Обозначим 
появление события , a 
— непоявление события в –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем
Р{А1}= Р{А2} =... = Р{Аn} = P,
P {ˉA1} = P {ˉA2} =... = P {ˉAn} = 1 – p = q
Событие может появиться раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием 
. Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из элементов по , т. е. 
. Следовательно, событие можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно :
Bm = A1A2... AmˉAm+1... ˉAn +...+ ˉA1ˉA2...ˉAn-m An-m+1...An,
где в каждое произведение событие входит раз, а -- раз.
Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна 
. Так как общее количество таких событий равно , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события (обозначим ее 
)
= 
or 
= n!/m!(n – m)! все это умножить на P ͫ*qͪˉ ͫ
(3.2)
Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.
Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.
Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая 
, по формуле (3.2) получаем
