Определение оценок среднеквадратического отклонения

 

Оценка генеральной дисперсии любого закона распределения может быть вычислена (при неизвестном математическом ожидании генерального среднего) по формуле:

 

.

(2.17)

 

Эта оценка является несмещенной и состоятельной, а для нормального распределения – еще и эффективной.

Для нормального закона распределения оценка генерального среднеквадратического отклонения (СКО) результатов наблюдений определяется:

 

.

(2.18)

 

Оценка является несмещенной, состоятельной и асимптотически эффективной только для нормального закона. В случае представления результатов вариационным рядом следует пользоваться формулой (5.3).

Несмещенная оценка СКО для нормальных распределений так же определяется по формуле:

 

;

(2.19)

 

.

(2.20)

 

Значения коэффициента приведены в таблице 2.1

 

Таблица 2.1 – Значения коэффициента в зависимости от количества наблюдений

 

	1,253		1,025		1,013
	1,128		1,023		1,012
	1,085		1,021		1,010
	1,064		1,019		1,008
	1,051		1,018		1,007
	1,042		1,017		1,006
	1,036		1,016		1,006
	1,032		1,015		1,005
	1,028		1,014		1,004

 

СКО случайной погрешности оценки центра распределения (СКО результата измерений) убывает по сравнению с СКО результата наблюдений в , как показано по формуле:

 

.

(2.21)

 

Определение оценок третьего центрального момента , коэффициента асимметрии , СКО коэффициента асимметрии проводится по формулам:

 

;

(2.22)

 

;

(2.23)

 

.

(2.24)

 

Формулы для вычисления начальных и центральных моментов и соотношения между ними приведены в таблице 2.2.

 

Таблица 2.2 – Перечень формул /16/

 

 

Выбор формул, приведенных во второй и третьей графах таблицы и дающих практически одинаковые результаты, осуществляют в зависимости от особенностей используемых средств вычислительной техники, алгоритмов и программ обработки информации.

 

Рассмотрим на примере последовательность определения оценок центра распределения.

Даны результаты 20 измерений перемещения для точек пера лопатки компрессора под действием центробежной силы. Результаты наблюдения и частота их появления указаны в таблице 2.3.

 

Таблица 2.3 – Результаты наблюдений

 

, мкм	23,0	23,1	23,2	23,3	23,4	23,5	23,6	23,7

 

Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерения.

Будем считать, что закон распределения не известен. В этом случае, как отмечалось раньше, за оценку центра распределения экспериментальных данных принимают медиану из ряда пяти оценок центров , , , , (расположенных в вариационный ряд).

Определяем оценку центра как:

а) среднее арифметическое по формуле (2.4):

 

 

мкм;

 

б) среднее арифметическое 90 %-ной выборки определяем по формуле (2.7). Пять процентов выборки в нашем случае , т. е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с концов вариационного ряда, т. е. результаты мкм и мкм. Тогда:

 

мкм;

 

в) медиану распределения - по формуле (2.9). Поскольку n -четное, то

 

мкм

 

мкм;

 

г) срединный размах определяем по формуле (2.15). Для этого вычисляем 25 % и 75 %-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:

 

мкм; мкм.

Тогда:

 

мкм.

 

д) центр размаха определяем по формуле (2.16):

 

мкм

 

мкм.

 

Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: < < < < или 23,20<23,225<23,25<23,26<23,35 мкм.

За оценку центра распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое 90 %-ной выборки, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: мкм.

Оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.17):

 

мкм.

 

Оценку СКО результатов измерений определяем по формуле (2.21):

 

мкм.