Представление функций интегралами Фурье

Практическая часть.

1. Построим продолжение функции, заданной на отрезке [0,2], на всю числовую ось, доопределив ее нулевыми значениями вне заданного отрезка.

 

Рис.13

 

Проверим достаточные условия представления функции интегралом Фурье.

Функция имеет две точки разрыва первого рода: х = 1 и х = 2; в промежутках (0,1) и (1,2) монотонно убывает, а в промежутках (-¥,0), (2,+¥) постоянна. Следовательно, в каждом конечном промежутке числовой прямой R функция f(x) интегрируема, кусочно непрерывна и кусочно монотонна.

 

Проверим абсолютную интегрируемость функции f(x):

Найдем прямое преобразование Фурье функции.

 

Обратное преобразование Фурье функции.

 

 

Определим значения преобразования в точках разрыва и на концах отрезка:

при х = 0: ½[f(+0)+f(-0)] = ½(0 + 0) = 0

при х = 1: ½[f(1+0)+f(1-0)] = ½(1 - 1) = 0

при х = 2: ½[f(2+0)+f(2-0)] = ½(0 – 2) = -1

Построим графики интеграла Фурье.

Рис. 14

2. Построим четное продолжение на отрезок [-2,0] функции, заданной на отрезке [0,2]. Построим продолжение функции, полученной на отрезке [-2,2], на всю числовую ось, доопределив ее нулевыми значениями вне отрезка [-2,2].

Рис. 15

Проверим достаточные условия представления функции интегралом Фурье.

Функция имеет четыре точки разрыва первого рода: х = -2, х = -1, х = 1 и х = 2; в промежутках (-1,0), (1,2) монотонно возрастает, в промежутках (-2,-1), (0,1) монотонно убывает, а в промежутках (-¥,-2), (2,+¥) постоянна. Следовательно, в каждом конечном промежутке числовой прямой R функция f(x) интегрируема, кусочно непрерывна и кусочно монотонна.

Проверим абсолютную интегрируемость функции f(x):

Найдем прямое преобразование Фурье функции.

 

Обратное преобразование Фурье функции.

 

Определим значения преобразования в точках разрыва и на концах отрезка:

при х = -2: ½[f(-2+0)+f(-2-0)] = ½(-2 + 0) = -1

при х = -1: ½[f(-1+0)+f(-1-0)] = ½(-1 + 1) = 0

при х = 1: ½[f(1+0)+f(1-0)] = ½(1 - 1) = 0

при х = 2: ½[f(2+0)+f(2-0)] = ½(0 – 2) = -1

Построим графики интеграла Фурье.

Рис. 16

 

3. Построим нечетное продолжение на отрезок [-2,0] функции, заданной на отрезке [0,2]. Построим продолжение функции, полученной на отрезке [-2,2], на всю числовую ось, доопределив ее нулевыми значениями вне отрезка [-2,2].

Рис. 17

Проверим достаточные условия представления функции интегралом Фурье.

Функция имеет четыре точки разрыва первого рода: х = -2, х = -1, х = 1 и х = 2; в промежутках (-2,-1), (-1,1), (1,2) монотонно убывает, а в промежутках (-¥,-2), (2,+¥) постоянна. Следовательно, в каждом конечном промежутке числовой прямой R функция f(x) интегрируема, кусочно непрерывна и кусочно монотонна.

Проверим абсолютную интегрируемость функции f(x):

Найдем прямое преобразование Фурье функции.

Обратное преобразование Фурье функции.

 

Определим значения преобразования в точках разрыва и на концах отрезка:

при х = -2: ½[f(-2+0)+f(-2-0)] = ½(2 + 0) = 1

при х = -1: ½[f(-1+0)+f(-1-0)] = ½(1 - 1) = 0

при х = 1: ½[f(1+0)+f(1-0)] = ½(1 - 1) = 0

при х = 2: ½[f(2+0)+f(2-0)] = ½(0 – 2) = -1

Построим графики интеграла Фурье.

Рис. 18