Точки разрыва и их классификация

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

Курсовая работа

По математическому анализу

Вариант № 16

Выполнил: студент гр.

Проверил:

Москва 2011/12 уч. год

Оглавление

Теория……………………………………………………………………..……3

Практическая часть………………………………………………………..…9

Теория.

Точки разрыва и их классификация

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки _. Из приведенного ранее определения точки разрыва функции получаем, что точка является точкой разрыва функции f(x), если выполняется одно из условий: или функция f(x) определена в точке , но не является непрерывной в этой точке, или функция f(x) не определена в точке _.

В первом случае точка принадлежит области определения функции, во втором случае не принадлежит области определения функции. Заметим, что для основных элементарных функций возможен только второй случай.

Пусть — точка разрыва функции f(x). При этом называется точкой разрыва первого рода, если функция f(x) имеет конечные пределы справа и слева в этой точке. Во всех остальных случаях называется точкой разрыва второго рода. Если точка разрыва первого рода функции f(x) то график этой функции в точке хо может иметь лишь конечный скачок (см. рис. 1). Если же - точка разрыва второго рода функции f(x), то по крайней мере один из пределов справа или слева в точке не существует или равен бесконечности.

 

Основные сведения

 

Функция f (x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f (x) период Т, то функция f (ax)имеет период .

3) Если f (x)- периодическая функция периода Т, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

 

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

 

Если f (x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

(1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

, где n =1,2,...

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

 

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ ] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f (x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f (x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

 

ТЕОРЕМА 2. Если f (x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f (x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

 

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

 

Пусть f (x) - четная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = f (x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n =1,2,...

 

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2 L выглядит так:

Пусть теперь f (x) - нечетная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = - f (x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n =1,2,...

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2 L выглядит так:

Если функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то

, где ,

,

,

Если f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0 ,L ], то доопределив заданную функцию f (x) соответствующим образом на [- L, 0]; далее периодически продолжив на (T =2 L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [ a, b ], надо: доопределить на [ b, a +2 L ] и периодически продолжить, либо доопределить на [ b -2 L, a ] и периодически продолжить.

 

Комплексная форма ряда Фурье

 

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f (x), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

 

(n =1,2,...)

 

Ряд Фурье для периодической функции с периодом T = 2L

 

Пусть g (x) – периодическая функция с периодом 2π: Тогда функция является периодической с периодом 2 L: Следовательно, для разложения периодической функции f (x) с периодом 2 L в ряд Фурье можно использовать соответствующие формулы для периодической функции с периодом 2π, выполнив в них подстановку :       Аналогичным образом обобщаются формулы для ряда и коэффициентов Фурье в комплексной форме на случай периодической функции f (x) с периодом 2 L:

 

Интеграл Фурье

 

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f (x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на

 

(т.е. интеграл сходится)

 

2) на любом конечном отрезке [- L, L ] функция была бы кусочно-гладкой

 

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

 

, где ,

.