А) плоские кривые
Локальные свойства кривой характеризуются касательной и нормалью.
Касательной называют предельное положение секущей t (t /, t //,...) когда точка М2 стремится к точке М. Нормаль – это прямая перпендикулярная касательной в данной точке (n 
t).
А) пространственные кривые
Локальные свойства пространственной
|
|
кривой характеризуются:
Σ – соприкасающейся плоскостью.
|
|
|
|
|
Σ – предельное положение некоторой плоскости определяемой точками M1, M, M2, когда точки M1 и М2 стремятся к точке М (M1→M и М2→М).
Δ – нормальной плоскостью (перпендикулярная касательной t).
θ – спрямляющаяся плоскость.
Нормальная плоскость Δ перпендикулярна касательной t Δ 
.
Спрямляющаяся θ плоскость проходит через касательную t, и перпендикулярна соприкасающейся плоскости θ É t, 
Дифференциальные свойства пространственных кривых характеризуют:
n – нормаль кривой 
; 
t – касательная 
;
b – бинормаль 
;
Задача №1
На комплексном чертеже заданы фронтальная и горизонтальные проекции кривой f. Определить какой является кривая, плоской или пространственной.
 | |||
 | |||
План решения:
1. Строим прямые AC и BD пересекающие заданную кривую f.
2. Строим точки пересечения (K1 и K2) проекций прямых AC и BD на фронтальной и горизонтальной проекциях.
3. Так как точки пересечения K1 и K2 не находятся на одной линии проекционной связи, то кривая a является пространственной.
Способы задания кривых поверхностей
Поверхность – это непрерывное двухпараметрическое множество точек.
1 Задание поверхности с помощью алгебраических уравнений
В этом способе задания поверхность рассматривается как геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют определенно заданному алгебраическому уравнению. Например, точка A принадлежит поверхности сферы, если её координаты удовлетворяют алгебраическому уравнению:
 |
.
2 Задание поверхности с помощью параметрических уравнений
Точка A определяется параметрическими уравнениями:
где u и v – текущие параметры.
3 Каркасно-кинематический способ
Поверхность представляется линейным каркасом, т.е. совокупностью линий, принадлежащих поверхности, имеющих единый закон образования и связанных определенной зависимостью.
Кривая l в качестве которой выступает эллипс принадлежит плоскости S ^ x, которая перемещается вдоль оси x.
 |
Параметры малой и большой полуосей эллипса определяются функциями
, 
.
Уравнения поверхности
.
Пример задания поверхности линейным каркасом
Понятие об определителе поверхности
Определителем поверхности называется совокупность условий задающих поверхность в пространстве. Определитель поверхности состоит:
1) Из геометрической части.
2) Из алгоритмической части.
Поверхность считается заданной, если можно решить вопрос о принадлежности любой точки пространства заданной поверхности.
Геометрическая часть определителя – совокупность геометрических элементов необходимых для задания поверхности.
Алгоритмическая часть определителя – это совокупность операций (последовательности) по которым строятся образующие (элементы каркаса) поверхности.
 |  | ||||
 | |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l – Образующая поверхности.
 |
S, m - геометрическая часть.
S Î l
l Ç m - алгоритмическая часть.
Классификация поверхностей
Поверхности вращения
Построение очерка поверхности вращения
|
|
|
|
Гиперболоид вращения
Определение принадлежности точек заданным поверхностям
