Определение передаточной функции, переходной и импульсной характеристик.

Используя формулу для , предварительно заменив в ней , записываем выражение для ,

,

, где

;

;

;

;

.

Используя формулу для , предварительно заменив в ней , записываем выражение для ,

, где

;

;

;

;

.

Определяем переходную характеристику (ПХ) как обратное преобразование Лапласа для функции .

– операторное изображение единичной функции Хэвисайда.

.

Полюса определяем численными методами в MathCAD:

;

;

;

.

Искомая ПХ:

.

Построим график ПХ.

Отмечаем, что в отклике на единичную функцию перепад сгладился. Это связано с тем, что на выходе спроектированного фазокорректора отсутствуют высокие частоты, отвечающие как раз за резкие перепады.

Найдем импульсную характеристику (ИХ) как производную от переходной:

.

Построим график ИХ.

Оценим время установления:

.

Операторное изображение входного и выходного сигналов.

Исходный сигнал можно представить в виде суммы функций , .

, где

,

.

Сначала определим операторное изображение сигнала .

.

Теперь, используя теорему о смещении, находим операторное изображение сигнала .

.

Используя теорему о суммировании, определим операторное изображение исходного сигнала.

.

Операторное изображение выходного сигнала:

,

, где

;

;

;

;

.

Получим выражение для выходного сигнала.

Поскольку исходный импульс можно представить в виде суммы двух функций

,

то реакцию цепи на заданный импульс можно представить в виде суммы реакций на отдельные составляющие заданного импульса:

.

Первое слагаемое есть ничто иное как переходная характеристика (ПХ) умноженная на :

.

Поскольку , то второе слагаемое можно записать, зная , следующим образом:

.

Таким образом, итоговое выражение для выходного сигнала имеет следующий вид:

.

Построим графики для двух случаев длительности исходного импульса: и .

 

Дадим пояснения физическим процессам, происходящим в цепи. В момент прихода импульса напряжение на выходе равно нулю. В емкостях напряжение нарастает плавно без скачков. Емкости начинают заряжаться. Причем для случая переходные процессы успевают пройти в большей мере, чем для случая , емкости зарядятся до большей величины. По окончанию импульса, когда на входе напряжение становится равным нулю, напряжение экспоненциально убывает, и по истечению переходных процессов напряжение на выходе становится равным нулю. Отметим также, что для случая длительность входного импульса намного меньше времени переходных процессов, это приводит к тому, что реакция на данный импульс имеет сходство с импульсной характеристикой.

Проведем моделирование.

Для получения графика ПХ в качестве входного сигнала выбираем источник постоянного напряжения в сочетании с ключом.

Амплитуду источника устанавливаем 1 В.

Время срабатывания ключа выбираем близким к нулю (в данном случае 1 пс).

Для получения графика ИХ в качестве входного сигнала выбираем источник постоянного напряжения в сочетании с двумя ключами. Первый ключ подключает источник к схеме, второй отключает. Таким образом, на вход цепи подается импульс. Третий ключ по окончании импульса обеспечивает нулевой потенциал на входе цепи.

Значения напряжения источника и времени срабатывания ключей выбираем из следующих соображений: 1) длительность импульса должна быть малой величиной (много меньшей ), 2) площадь импульса должна равняться единице (следует из свойства: ).

Для получения импульса длиной используем источник прямоугольных импульсов и ключ. Второй ключ по окончании импульса обеспечивает нулевой потенциал на входе цепи.

Частота источника:

.

Для получения импульса длиной используем генератор специальных сигналов.

Частота источника сигнала:

.

Полученные результаты полностью совпали с теоретическими.

 

Вывод:

Вывод: в ходе работы были подобраны номиналов элементов цепи, удовлетворяющие заданным условиям. Были изучены: спектральный метод анализа цепей, получены спектры входного и выходного сигналов, восстановлен выходной сигнал; операторный метод анализа цепей, получены переходная и импульсная характеристики цепи, найдена реакция цепи на заданные импульсы длиной и . Все теоретические результаты были подтверждены практическим экспериментом.