Порядок вычислений по формуле Мора

1. От внешней нагрузки для каждого стержня конструкции находятся формулы для вычислений и построения эпюр N_Р и M_P;

2. В искомом сечении по направлению искомого перемещения прикладывается «единичная нагрузка» (для линейного перемещения – сосредоточенная сила Р ₁=1, для угла поворота сечения – сосредоточенный момент m ₁=1) и от этого нагрузки во всех стержнях определяются формулами для N ₁ и М ₁, по которым строятся эпюры и ;

3. Искомое перемещение определяется по формуле Мора (14.7), что на практике сводится к перемножению эпюр: N ₁ на N_P и эпюр: М ₁ на М_Р для каждого стержня и суммированием результатов;

4. Если в результате вычислений получиться Δ_1Р> 0, то искомое перемещение совпадает с направлением «единичной нагрузки».

В формуле (14.7): Е – модуль упругости материала стержней, А и J – площади и моменты инерции относительно оси изгиба сечений каждого стержня.

На практике в формуле (14.7) используется лишь одно слагаемое:

В фермах, где стержни работают в основном на растяжение-сжатие, оставляют обычно только первое слагаемое. А т.к. эпюры и постоянны по длине стержней, то

. (14.8)

Здесь n – число стержней в ферме.

В рамах (балках) используются обычно стержни большой изгибной жесткости EI и они работают в основном на изгиб. Поэтому с достаточной точностью в (14.7) можно оставить только второе слагаемое

. (14.9)

Правило Верещагина

Перемножение эпюр можно проводить способом Верещагина: произведение эпюр равно площади одной эпюры, умноженной на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Умножение вести с учетом знаков.

Например:

а)

б)	Трапецию надо разбить на 2 фигуры: треугольник и прямоугольник:
с)	Верхнюю эпюру с переменными знаками представляют в виде суммы двух треугольников (пунктир) с разными знаками:
d)	Эпюры ограничены параболой n-ой степени. Эти эпюры лучше принимать за первые и для них определять А и : A ₁= , A ₂= .

Рис.14.2

Определение перемещений в статически

Определимых конструкциях методом сил

Пример 14.1.

Рис.14.3.

У рамы на рис. 14.3а найти вертикальное перемещение т. С от заданной нагрузки q.

Порядок расчета:

1. Строим эпюры М_Р_i от нагрузки q для каждого i -го участка:

I участок 0 ≤ S₁ ≤ а, .

Считаем: , ; , ; , .

По этим данным строим эпюру М_Р1 на рис. 14.4.

II участок 0 ≤ S₂ ≤ a .

Строим эпюру М_Р2.

2. По условию задачи надо найти вертикальное перемещение т.С рамы, поэтому в этой точке прикладываем вертикальную силу Р ₁=1. Например, вверх на рис. 14.3в.

От этой единичной силы строим эпюры для всех участков рамы:

I участок 0 ≤ S ₁≤ a, М ₁₁= Р ₁ S ₁, считаем:

II участок 0 ≤ S₂≤ a, М ₁₂= Р ₁ a = a – const.

По этим данным строим эпюры на рис. 14.4.

Рис.14.4

3. Перемножаем эпюры и эпюры , как показано на рис. 14.2, на каждом i -м участке рамы:

	Здесь А ₁ и Z_C ₁ находим из рис. 14.2d для квадратной параболы n = 2. . У ₁ найдем из пропорций для нижнего треугольника: , ,
	,

4. Перемещение т. С Δ_С=Δ_1Р найдем по (14.19) суммированием чисел В и К:

Здесь - изгибная жесткость участков рамы.

Получили Δ_С< 0, это означает, что т.С переместится в направлении, противоположном направлению приложенной силы Р ₁=1 (вверх). Точка С переместится вниз.

Если для рамы на рис.14.3а надо определить горизонтальное перемещение т. С, то в т. С прикладываем горизонтальную силу Р ₁=1. Если надо найти угол поворота сечения в т. С, то в ней прикладываем единичный момент m ₁=1. От них и строятся эпюры , а эпюры от нагрузки q не меняются.

Пример 14.2

Рассмотрим ферму, показанную на рис.13.1. Как показано выше в § 13.2, чтобы эта ферма была геометрически неизменяема, в опоре В опорный стержень надо расположить горизонтально, при этом ферма будет статически определима.

Для такой фермы надо определить вертикальное перемещение узла С от действия нагрузок F в узлах С и D.

Порядок расчета:

1) для заданной фермы от заданных нагрузок из обычных уравнений статики для всей фермы находим три опорных реакции R_A, H_A и H_B;

2) методом вырезания узлов или методом сечений находим продольные усилия N_Р_i во всех i ^х стержнях фермы от заданных нагрузок F;

3) убираем силы F в узлах С и D, а в узле С прикладываем по направлению искомого перемещения вертикальную силу Р =1 (например вниз). От этой единичной силы Р =1 снова определяем все опорные реакции , , и далее находим продольные усилия во всех i^x стержнях фермы;

4) искомое перемещение Δ_С найдем по формуле (14.8)

i=1,2,… 9- число стержней.

Здесь: E – продольный модуль упругости материала стержней;

- площади поперечных сечений и длины всех стержней;

Суммирование надо вести по всем девяти стержням фермы.

Аналогично можно найти перемещение любого узла фермы (вертикальное или горизонтальное), прикладывая в этом узле силу Р =1 по направлению искомого перемещения и определяя от нее усилия . А усилия от внешней нагрузки не меняются.

Пример 14.3. Для балки, показанной на рис.14.5а, найти вертикальные перемещения сечений в т. К и т. D от заданной нагрузки F способом Мора.

Эп.М₁ (от P₁=1)

Рис.14.5

Решение:

1) Сначала рассмотрим балку с заданной нагрузкой F. Очевидно, что реакции в опорах . Эпюра изгибающих моментов от этой нагрузки М_р (от F) показана на рис.14.5а.

2) Найдем вертикальное перемещение сечения в т. К. Для этого в этой точке приложим единичную силу Р =1. Эпюра М ₁ (от Р =1) показана на рис.14.5b.

Перемещение т. К обозначим V _K, его найдем по (14.9) . Для этого надо перемножить эпюру М _р и эпюру М ₁ по правилу Верещагина.

Каждая из этих эпюр состоит из двух одинаковых треугольников, поэтому после перемножения этих треугольников эпюр результат надо удвоить:

где .

3. Найдем вертикальное перемещение сечения балки в т.D. Для этого в этой точке приложим единичную силу Р₁ =1 (рис.14.5с). Эпюра М₁ (от Р₁=1) показана на этом же рис.14.5с. Перемещение т. D обозначим V _D, его найдем по (14.9) . Для этого надо перемножить эпюру М _р (от F) рис.14.5а и эпюру М ₁ (от Р₁=1) рис.14.5с по правилу Верещагина. Площадь эпюры М _р . Ее центр тяжести находится под т.К, а ордината у₂ на эпюре М₁ (рис.14.5с) под этой точкой . На участке ВD балки эпюра М_р=0, поэтому перемножение эпюр М_р и М₁ дает ноль.

Итак .

Величина V _D получилась отрицательной, это значит, что прогиб в сечении D будет направлен вверх, противоположно приложенной силе Р₁=1 на рис.14.5с.

Аналогично можно найти углы поворота сечений q, прикладывая в этих сечениях локальные единичные моменты m ₁=1 и строя от них эпюры М ₁. А эпюра М _р при этом не меняется.

Расчет статически неопределимых ферм и рам более сложен и подробно рассматривается в курсе «Строительная механика стержневых конструкций».